Xét số phức z thỏa mãn \[\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \]. Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \[\left| {z - 1 + i} \right|.\]Tính P=m+M.

Gọi \[z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\]

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi P(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z

Gọi \[A\left( { - 2;1} \right),B\left( {4;7} \right)\]thì

\[\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|}\\{ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB}\end{array}\]

Suy ra tập hợp các điểm P thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB

Có\[\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC\]với C(1;−1)

Do đó\[P{C_{\min }}\]khi P là hình chiếu của C lên AB và \[P{C_{\max }}\] khi\[P \equiv B\]

Suy ra \[M = CB = \sqrt {73} \]

Ta có:\[AB:\frac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \frac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\]

\[ \Rightarrow m = d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\]

\[ \Rightarrow M + m = \frac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\]