Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam vuông cân tại A, AB = $a\sqrt{2}.$  Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và$SA=a\sqrt{6}.$

 Gọi M là trung

điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAM)

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
c) Gọi điểm I là hình chiếu vuông góc của điểm A lên cạnh SC và H là giao điểm
của BI và SM. Chứng minh H là trực tâm của tam giác SBC.

Ta có a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x.

Xét hàm số f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x.

+) Với a = 0 Þ f (x) = b.cos³ x - 2c.cos x = cos x.( b.cos² x - 2c) = 0

Nên luôn cho nghiệm cos x = 0 (*)

+) Với a ¹ 0 Þ f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x

f (x) liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn  (1)

Ta có:$\left.\begin{array}{c}f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=2a\\ f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-2a\end{array}\right\}$

$\Rightarrow f\left(-\frac{\pi }{2}\right).f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2a.\left(-2a\right)=-4a^2<0$(2)

Từ (1) và (2) nên suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  (**)

Từ (*) và (**), vậy suy ra phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.