Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 3; 9) bán kính bằng 3. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{13}{2}$ . Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng

Đáp án đúng là: B

Ta có I(1; 3; 9) và R = 3. Suy ra d (I, (OMN)) = 3.

Vậy mặt cầu (S) tiếp xúc (OMN) tại A(1; 0; 9).

Gọi tọa độ M(m; 0; 0) và N(0; 0; n).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(m-1;0;-9\right);\overrightarrow{AN}=\left(-1;0;n-9\right).$

Do A, M, N thẳng hàng nên (m - 1)(n - 9) = 9 (1).

Do IA ^ (OMN) và H là trung điểm MN thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp DOMN.

Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp IOMN Þ KH Ì (IMN)

bán kính đường tròn ngoại tiếp DIMN bằng  (đường tròn lớn)

$\frac{1}{2}.IH.MN=\frac{IM.IN.MN}{4.\frac{13}{2}}\iff IM.IN=39$

Û ((m - 1)² + 90)((n - 9)² + 10) = 1521 (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{array}{c}\left(m-1\right)\left(n-9\right)=9\\ \left({\left(m-1\right)}^2+90\right)\left({\left(n-9\right)}^2+10\right)=1521\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}u={\left(m-1\right)}^2\\ v={\left(n-9\right)}^2\end{array}\right.$  , ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}uv=81\\ \left({\left(m-1\right)}^2+90\right)\left({\left(n-9\right)}^2+10\right)=1521\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}uv=81\\ \left(u+90\right)\left(v+10\right)=1521\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}uv=81\\ 90v+10u=540\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}u=27\\ v=3\end{array}\right.$

Vậy $AM.AN=\sqrt{u+81}.\sqrt{v+1}=12\sqrt{3}.$