Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(4; 1; 2) bán kính bằng 2. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{7}{2}$ . Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng

Đáp án đúng là: A

Ta có: d (I, (OMN)) = 2 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 1; 0), đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với (S) cũng tại điểm A(4; 1; 0) do MN Ì (Oxy)

Gọi M(m; 0; 0) và N(0; n; 0), m, n > 0

Do A Î MN nên $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m-4=-4k\\ -1=k\left(n-1\right)\end{array}\right.$

Þ (m - 4)(n - 1) = 4 $\iff m=\frac{4n}{n-1},n-1\ne 0$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI:

$4x+y+2z-\frac{21}{2}=0$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OM: $x=\frac{m}{2}$ .

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON:$y=\frac{n}{2}$ .

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là $J\left(\frac{m}{2};\frac{n}{2};\frac{-n^2+6n-21}{4n-4}\right)$

Theo giả thuyết cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{7}{2}$ nên $OJ=\frac{7}{2}$

$\iff O{J}^2=\frac{49}{4}$

$\iff \frac{4n^2}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{n^2}{4}+\frac{{\left(n^2-6n+21\right)}^2}{16{\left(n-1\right)}^2}=\frac{49}{4}$

Û n⁴ - 4n³ - 10n² + 28n + 49 = 0

$\iff n=1\pm 2\sqrt{2}$