Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = ln f(x) có bảng biến thiên

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên hàm số g(x) = ln f(x) ta có ln f(x) ≥ ln 3, ∀x Î ℝ  f(x) ≥ 3, ∀x Î ℝ.

Ta có g'(x) =$\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị là A(x₁; ln30), B(x₂; ln 35), C(x₃; ln 3) nên f '(x₁) = f '(x₂) = f '(x₃) = 0 và f(x₁) = 30, f(x₂) = 35, f(x₃) = 3.

Do y = f '(x) là hàm số bậc 3 nên phương trình f '(x) = 0 chỉ có tối đa 3 nghiệm x₁, x₂, x₃

Xét phương trình hoành độ giao điểm của f '(x) và g '(x) ta có

f '(x) = g '(x) $\iff$ f '(x) =$\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

.$\iff$$\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=1\left(VN\right)\end{array}\right.$$\iff$$\left\{\begin{array}{c}x=x_1\\ x=x_2\\ x=x_3\end{array}\right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) là:

S =$\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|g\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(x\right)\right|dx=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}-f\text{'}\left(x\right)\right|dx=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right).\left(\frac{1}{f\left(x\right)}-1\right)\right|dx$

=$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right).\left(\frac{1}{f\left(x\right)}-1\right)\right|dx+\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right).\left(\frac{1}{f\left(x\right)}-1\right)\right|dx$

+ Tính I₁ =$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right).\left(\frac{1}{f\left(x\right)}-1\right)\right|dx$ =$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right).\left(1-\frac{1}{f\left(x\right)}\right)\right|dx$ (do f '(x) ≥ 0, ∀x Î(x₁, x₂))

Đặt t = f(x) $\Rightarrow$ dt = f '(x) dx

Đổi cận:

x = x₁ Þ t = f(x­₁) = 30

x = x₂ Þ t = f(x₂) = 35

Suy ra I₁ = = 35 − ln 35 − 30 + ln30 = 5 + ln .

+ Tính I₂ = = (do f '(x) ≥ 0, ∀x Î(x₂, x₃)).

Đặt t = f(x) dt = f '(x)dx .

Đổi cận

x = x₂ Þ t = f(x₂) = 35

x = x₃ Þ t = f(x₃) = 3

Suy ra I₂ =$\underset{30}{\overset{35}{\int }}\left(1-\frac{1}{t}\right)dt={\left.\left(t-\ln \left|t\right|\right)\right|}_{30}^{35}$

= −(3 − ln 3 − 35 + ln 35) = 32 − ln$\frac{6}{7}$ .

Vậy S = 5 + ln +  = 37 +ln ≈ 34,39 Î (33; 35).