Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho mỗi a có đúng hai số nguyên b thoả mãn (3^b – 3)(a.2^b – 16) < 0

Đáp án đúng là: D

* Cách 1:

- TH₁: a = 1 Þ (3^b – 3)(2^b – 16) < 0.

Nếu b ≤ 1 hoặc b ≥ 4 không thoả mãn bất phương trình và b ∈ {2; 3} thoả mãn.

Vậy a = 1 thoả mãn.

- TH₂: a = 2 Þ (3^b – 3)(2.2^b – 16) < 0

Û (3^b – 3)(2^{b + 1} – 16) < 0

Nếu b ≤ 1 hoặc b ≥ 3 không thoả mãn bất phương trình và b = 2 thoả mãn.

Vậy a = 2 không thoả mãn.

- TH₃: a = 3 Þ (3^b – 3)(3.2^b – 16) < 0.

Nếu b ≤ 1 hoặc b ≥ 3 không thoả mãn bất phương trình và b = 2 thoả mãn.

Vậy a = 3 không thoả mãn.

- TH₄: a > 3.

Ta cần tìm a để bất phương trình (3^b – 3)(a.2^b – 16) < 0 có 2 nghiệm b.

• Nếu b ≥ 3 Þ (3^b – 3)(a.2^b – 16) ≥ 24.(3.8 – 16) > 0 không thoả mãn bất phương trình.

• Nếu b = 2 Þ (3^b – 3)(a.2^b – 16) ≥ 6(4.4 – 16) ≥ 0 không thoả mãn bất phương trình.

• Nếu b = 1 không thoả mãn.

• Nếu b < 1 Þ (3^b – 3) < 0.

Bất phương trình tương đương a.2^b – 16 > 0.

Hay a > $\frac{16}{2^b}$ có hai nghiệm b suy ra 33 ≤ a ≤ 64.

Kết hợp lại suy ra có tất cả 33 số nguyên dương a thoả mãn.

* Cách 2:

Xét (3^b – 3)(a.2^b – 16) = 0.

Do a Î ℕ^* nên $\left[\begin{array}{c}b=1\\ b={\log }_2\frac{16}{a}\end{array}\right.$.

• TH₁: ${\log }_2\frac{16}{a}$ > 1 Û a < 8.

Bất phương trình có đúng 2 nghiệm nguyên b

Û 3 < ${\log }_2\frac{16}{a}$ ≤ 4 Û 1 ≤ a < 2 Þ a = 1 (thoả mãn).

• TH₂: ${\log }_2\frac{16}{a}$ < 1 Û a > 8.

Bất phương trình có đúng 2 nghiệm nguyên b

Û −2 ≤ ${\log }_2\frac{16}{a}$< −14 Û 32 < a ≤ 64 Þ có 32 giá trị a.

Vậy có 33 giá trị của a thoả mãn.