Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình

Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Thực tế xưởng đã dệt được mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn dệt thêm được 20 chiếc áo. Tính số áo xưởng phải dệt theo kế hoạch?

a) Vì ∆ ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}$ = 90°

Vì AH ⊥ BC nên $\widehat{BHA}$= 90°

Xét ∆ ABC và ∆ HBA ta có:

Chung $\widehat{ABC}$

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BHA}$= 90°

Do đó ∆ ABC ᔕ ∆ HBA (g.g)

b) Vì AH ⊥ BC nên $\widehat{CHM}$= 90°

Vì AM ⊥ BD tại K nên $\widehat{CKB}$= 90°

Xét ∆CHM và ∆CBK ta có:

Chung $\widehat{MCH}$

$\widehat{CHM}$ = $\widehat{CKB}$ = 90°

Do đó ∆ CHM ᔕ ∆ CBK (g.g)

$\Rightarrow$ $\frac{CH}{CM}$ = $\frac{CB}{CK}$

$\Rightarrow$ CH. CK = CM. CB (đpcm)

c) Xét ∆CMH và ∆DMK, có:

$\widehat{CHM}=\widehat{DKM}=90°$

$\widehat{CMH}=\widehat{DMK}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆CMH ᔕ ∆DMK (g – g)

⇒ $\frac{MH}{MK}=\frac{CM}{DM}$ (hai cạnh tương ứng)

⇒ $\frac{MH}{CM}=\frac{MK}{DM}$

Xét ∆MHK và ∆MCD, có:

$\frac{MH}{CM}=\frac{MK}{DM}$ (cmt)

$\widehat{HMK}=\widehat{CMD}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆MHK ᔕ ∆MCD (c – g – c)

⇒ $\widehat{CDM}=\widehat{MKH}$ (2 góc tương ứng)

Ta lại có:

$\widehat{CDM}+\widehat{DCH}=90°$ (∆CDH vuông tại H)

$\widehat{HKB}+\widehat{MKH}=\widehat{MKB}=90°$ (hai góc phụ nhau)

Mà $\widehat{CDM}=\widehat{MKH}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{HKB}=\widehat{DCH}$ hay $\widehat{BKH}$ = $\widehat{BCD}$.

Áp dụng định lý Pytago vào ∆ DCM vuông tại C ta được:

DM² = CM² + CD² = 6² + 8² = 100

$\Rightarrow$ DM = 10

Xét ∆ ABM và ∆ DCM ta có:

$\widehat{AMB}$ = $\widehat{DMC}$(2 góc đối đỉnh)

$\widehat{B}$= $\widehat{C}$= 90°

Do đó ∆ABM ᔕ ∆DCM (g.g)

$\Rightarrow$ $\frac{AB}{DC}$ = $\frac{BM}{CM}$ = $\frac{AM}{DM}$

$\Rightarrow$ $\frac{y}{8}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{x}{10}$

$\Rightarrow$ y = $\frac{3.8}{6}$= 4

x = $\frac{3.10}{6}$ = 5

Vậy x = 5 và y = 4.