Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.

c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm².

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

Þ AH ⊥ BC

Þ ∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

Þ ∆AEH vuông tại E

Do đó $\widehat{AEH}$= $\widehat{AHB}$ = 90°

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\widehat{AEH}$= $\widehat{AHB}$ (chứng minh trên),

$\widehat{BAH}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

Þ $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{AE}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a)

Þ $\widehat{AHC}$ = 90°

Vì HF ⊥ AC (giả thiết)

Þ $\widehat{AFH}$ = 90°

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\widehat{AFH}$ = $\widehat{AHC}$ = 90°,

$\widehat{HAF}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

Þ $\frac{AF}{AH}$ = $\frac{AH}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AH² = AF. AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC.

c) Theo câu b có: AE. AB = AF.AC

Þ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$ 

Xét ∆AEF và ∆ACB có

$\widehat{A}$chung,

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

Þ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$= $\frac{E\text{}F}{BC}$ (tỉ số đồng dạng)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$= $\frac{E\text{}F}{BC}$ = $\frac{AE+A\text{}F+E\text{}F}{AC+AB+BC}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$ 

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

Þ $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$ = ${\left(\frac{AE}{AC}\right)}^2$= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ = $\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{4}=\frac{S_{ABC}}{9}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(do S_ABC – S_AEF = 25 (cm²))

Þ S_AEF = 5.4 = 20 (cm²)

Và S_ABC = 5.9 = 45 (cm²)

Vậy S_AEF = 20 cm² và S_ABC = 45 cm².