Câu hỏi:

19/08/2025 5,709

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Lấy điểm M thuộc đoạn EB (M khác E và B). Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với MD tại D, đường thẳng này cắt AC tại N.

a) Chứng minh tam giác DEM đồng dạng tam giác DFN.

b) Chứng minh tam giác DMN đồng dạng tam giác ACB.

c) Chứng minh MN² = BM² + CN².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) +) Xét tam giác BAC có E, D lần lượt là trung điểm của BA và BC nên suy ra ED là đường trung bình của tam giác BAC

Þ ED // AC và $E D = \frac{A C}{2}; B E = \frac{A B}{2}$

Mà BA ^ AC nên suy ra BA ^ ED

Suy ra $\hat{M E D} = 90 °$

+) Xét tam giác CBA có F, D lần lượt là trung điểm của CA và CB nên suy ra FD là đường trung bình của tam giác BAC

Þ FD // AB và $F D = \frac{A B}{2}; C F = \frac{A C}{2}$

Mà BA ^ AC nên suy ra AC ^ FD

Suy ra $\hat{N F D} = 90 °$

+) Ta có:

ED // AC, FD // AB mà BA ^ AC nên suy ra ED ^ FD

$\Rightarrow \hat{E D N} + \hat{N D F} = 90 °$ (1)

Mà $\hat{M D N} = \hat{M D E} + \hat{E D N} = 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra $\hat{M D E} = \hat{N D F}$ (Do cùng phụ với góc $\hat{E D N}$ )

Xét hai tam giác DDEM và DDFN có:

$\begin{matrix} \hat{M D E} = \hat{N D F} (c m t) \\ \hat{M E D} = \hat{N F D} (= 90 °) \end{matrix}\}$ ⇒ ∆DEM ᔕ DDFN (g – g)

b) Do DDEM ᔕ DDFN (g – g)

$\Rightarrow \frac{D M}{D N} = \frac{D E}{D F} = \frac{\frac{A C}{2}}{\frac{A B}{2}} = \frac{A C}{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{D M}{A C} = \frac{D N}{A B}$

Xét hai tam giác DDMN và DACB có:

$\begin{matrix} \frac{D M}{A C} = \frac{D N}{A B} (c m t) \\ \hat{M D N} = \hat{C A B} (= 90 °) \end{matrix}\}$ ⇒ ∆DMN ᔕ DACB (c – g – c)

c) +) Ta có:

MN² = AM² + AN² = (AB - BM)² + (AC - CN)²

= AB² - 2AB.BM + BM² + AC² - 2AC.CN + CN²

= AB(AB - 2BM) + AC(AC - 2CN) + BM² + CN²

= AB(2BE - 2BM) + AC(2CF - 2CN) + BM² + CN²

= 2AB(BE - BM) - 2AC(CN - CF) + BM² + CN²

= 2AB.EM - 2AC.FN + BM² + CN² (3)

+) Lại có:

DDEM ᔕ DDFN (g.g)

$\Rightarrow \frac{E M}{F N} = \frac{D E}{D F} = \frac{\frac{A C}{2}}{\frac{A B}{2}} = \frac{A C}{A B}$

Û AB.EM = AC.FN (4)

Thay (4) vào (3) suy ra (3) trở thành

MN² = BM² + CN² (đpcm).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0

Û (x² + 2xy + y²) + 7x + 7y + y² + 10 = 0

Û (x + y)² + 7(x + y) + y² + 10 = 0 (1)

Đặt S = x + y nên suy ra phương trình (1) trở thành

(1) Û S² + 7S + y² + 10 = 0

$\Leftrightarrow S^{2} + 7 S + \frac{49}{4} = \frac{9}{4} - y^{2}$

$\Leftrightarrow {(S + \frac{7}{2})}^{2} = \frac{9}{4} - y^{2} \leq \frac{9}{4}$

Dấu “=” xảy ra Û $\frac{9}{4} - y^{2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow y = 0$

Vậy ${(S + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}$

\Leftrightarrow \frac{- 3}{2} \leq S + \frac{7}{2} \leq \frac{3}{2}

Û - 5 £ S £ -2

$P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} = \frac{2 (x + y + 6) - 15}{x + y + 6}$

$= 2 - \frac{15}{x + y + 6} = 2 - \frac{15}{S + 6}$ (2)

Với - 5 £ S £ -2

Û 1 £ S + 6 £ 4

$\Leftrightarrow \frac{15}{4} \leq \frac{15}{S + 6} \leq 15$

$\Leftrightarrow 2 - 15 \leq 2 - \frac{15}{S + 6} \leq 2 - \frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow - 13 \leq 2 - \frac{15}{S + 6} \leq - \frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow - 13 \leq P \leq - \frac{7}{4}$

Vậy suy ra GTNN của P = -13 $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 5 \\ y = 0 \end{matrix}$

Và GTLN của $P = \frac{- 7}{4} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 0 \end{matrix} .$

Câu 2

Cho biểu thức $P = (\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x}) : (1 - \frac{2}{x}) .$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức P biết x là số thực thỏa mãn điều kiện: |2x - 1| = 5.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

$P = (\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x}) : (1 - \frac{2}{x})$

$= (\frac{x - 1}{x (x - 2)} + \frac{x + 1}{x (x + 2)} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}) : (1 - \frac{2}{x})$

ĐKXĐ:

$\{\begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq - 2 \\ x \neq 0 \end{matrix}$

Suy ra:

$P = (\frac{x - 1}{x (x - 2)} + \frac{x + 1}{x (x + 2)} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}) : (1 - \frac{2}{x})$

$= (\frac{x - 1}{x (x - 2)} + \frac{x + 1}{x (x + 2)} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}) : (\frac{x - 2}{x})$

$= (\frac{x - 1}{x (x - 2)} + \frac{x + 1}{x (x + 2)} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}) . (\frac{x}{x - 2})$

$= \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

$= \frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} - x + 2 x - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{x^{2} + x - 2 x - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} - x + 2 x - 2 + x^{2} + x - 2 x - 2 - 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

$= \frac{2 x^{2} - 8}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} = \frac{2 (x^{2} - 4)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

$= \frac{2 (x - 2) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} = \frac{2}{x - 2}$

b) Xét phương trình |2x - 1| = 5 ⇔ $[\begin{matrix} 2 x - 1 = 5 \\ 2 x - 1 = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = 6 \\ 2 x = - 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 3 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Đối chiếu ĐKXĐ ta suy ra được x = 3 là nghiệm của phương trình trên.

Thay x = 3 (TMĐK) vào biểu thức P, ta được:

$P = \frac{2}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2.$

Vậy với x thỏa mãn điều kiện |2x - 1| = 5 thì P = 2.

Câu 3

Một người lái ô tô dự định đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 48 km/h. Nhưng thực tế, sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, ô tô nghỉ trong 10 phút. Do đó để kịp đến B đúng thời gian dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB.

b) Kích thước một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước (coi thành bể có độ dày không đáng kể; làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x + 1}{2 x^{2} + 5 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - 4} = 2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} .$

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x + 1}{2 x^{2} + 5 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - 4} = 2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.