Câu hỏi:

13/07/2024 3,209

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Lấy điểm M thuộc đoạn EB (M khác E và B). Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với MD tại D, đường thẳng này cắt AC tại N.

a) Chứng minh tam giác DEM đồng dạng tam giác DFN.

b) Chứng minh tam giác DMN đồng dạng tam giác ACB.

c) Chứng minh MN² = BM² + CN².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) +) Xét tam giác BAC có E, D lần lượt là trung điểm của BA và BC nên suy ra ED là đường trung bình của tam giác BAC

Þ ED // AC và $E D = \frac{A C}{2}; B E = \frac{A B}{2}$

Mà BA ^ AC nên suy ra BA ^ ED

Suy ra $\hat{M E D} = 90 °$

+) Xét tam giác CBA có F, D lần lượt là trung điểm của CA và CB nên suy ra FD là đường trung bình của tam giác BAC

Þ FD // AB và $F D = \frac{A B}{2}; C F = \frac{A C}{2}$

Mà BA ^ AC nên suy ra AC ^ FD

Suy ra $\hat{N F D} = 90 °$

+) Ta có:

ED // AC, FD // AB mà BA ^ AC nên suy ra ED ^ FD

$\Rightarrow \hat{E D N} + \hat{N D F} = 90 °$ (1)

Mà $\hat{M D N} = \hat{M D E} + \hat{E D N} = 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra $\hat{M D E} = \hat{N D F}$ (Do cùng phụ với góc $\hat{E D N}$ )

Xét hai tam giác DDEM và DDFN có:

$\begin{matrix} \hat{M D E} = \hat{N D F} (c m t) \\ \hat{M E D} = \hat{N F D} (= 90 °) \end{matrix}\}$ ⇒ ∆DEM ᔕ DDFN (g – g)

b) Do DDEM ᔕ DDFN (g – g)

$\Rightarrow \frac{D M}{D N} = \frac{D E}{D F} = \frac{\frac{A C}{2}}{\frac{A B}{2}} = \frac{A C}{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{D M}{A C} = \frac{D N}{A B}$

Xét hai tam giác DDMN và DACB có:

$\begin{matrix} \frac{D M}{A C} = \frac{D N}{A B} (c m t) \\ \hat{M D N} = \hat{C A B} (= 90 °) \end{matrix}\}$ ⇒ ∆DMN ᔕ DACB (c – g – c)

c) +) Ta có:

MN² = AM² + AN² = (AB - BM)² + (AC - CN)²

= AB² - 2AB.BM + BM² + AC² - 2AC.CN + CN²

= AB(AB - 2BM) + AC(AC - 2CN) + BM² + CN²

= AB(2BE - 2BM) + AC(2CF - 2CN) + BM² + CN²

= 2AB(BE - BM) - 2AC(CN - CF) + BM² + CN²

= 2AB.EM - 2AC.FN + BM² + CN² (3)

+) Lại có:

DDEM ᔕ DDFN (g.g)

$\Rightarrow \frac{E M}{F N} = \frac{D E}{D F} = \frac{\frac{A C}{2}}{\frac{A B}{2}} = \frac{A C}{A B}$

Û AB.EM = AC.FN (4)

Thay (4) vào (3) suy ra (3) trở thành

MN² = BM² + CN² (đpcm).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,711

Câu 2:

Cho biểu thức $P = (\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x}) : (1 - \frac{2}{x}) .$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức P biết x là số thực thỏa mãn điều kiện: |2x - 1| = 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,534

Câu 3:

Một người lái ô tô dự định đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 48 km/h. Nhưng thực tế, sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, ô tô nghỉ trong 10 phút. Do đó để kịp đến B đúng thời gian dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB.

b) Kích thước một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước (coi thành bể có độ dày không đáng kể; làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án » 13/07/2024 441

Câu 4:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x + 1}{2 x^{2} + 5 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - 4} = 2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.

Xem đáp án » 09/08/2022 284

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Nhà sách VIETJACK:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=2x+2y−3x+y+6.

Cho biểu thức P=x−1x2−2x+x+1x2+2x−4x3−4x:1−2x. a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P biết x là số thực thỏa mãn điều kiện: |2x - 1| = 5.

Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) 2x+12x2+5x+2−3x2−4=2; b) |x - 3| - |x2 - x + 1| = 1; c) (x2 - 1)(x3 + 1) ³ 0.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} .$

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x + 1}{2 x^{2} + 5 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - 4} = 2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.