Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=2x+2y−3x+y+6.

Ta có: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0 Û (x2 + 2xy + y2) + 7x + 7y + y2 + 10 = 0 Û (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0 (1) Đặt S = x + y nên suy ra phương trình (1) trở thành (1) Û S2 + 7S + y2 + 10 = 0 ⇔S2+7S+494=94−y2 ⇔S+722=94−y2≤94 Dấu “=” xảy ra Û 94−y2=94⇔y=0 Vậy S+722≤94 ⇔−32≤S+72≤32 Û - 5 £ S £ -2 P=2x+2y−3x+y+6=2x+y+6−15x+y+6 =2−15x+y+6=2−15S+6 (2) Với - 5 £ S £ -2 Û 1 £ S + 6 £ 4 ⇔154≤15S+6≤15 ⇔2−15≤2−15S+6≤2−154 ⇔−13≤2−15S+6≤−74 ⇔−13≤P≤−74 Vậy suy ra GTNN của P = -13 ⇔x=−5y=0 Và GTLN của P=−74⇔x=−2y=0 .

Câu hỏi:

13/07/2024 5,766

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0

Û (x² + 2xy + y²) + 7x + 7y + y² + 10 = 0

Û (x + y)² + 7(x + y) + y² + 10 = 0 (1)

Đặt S = x + y nên suy ra phương trình (1) trở thành

(1) Û S² + 7S + y² + 10 = 0

$\Leftrightarrow S^{2} + 7 S + \frac{49}{4} = \frac{9}{4} - y^{2}$

$\Leftrightarrow {(S + \frac{7}{2})}^{2} = \frac{9}{4} - y^{2} \leq \frac{9}{4}$

Dấu “=” xảy ra Û $\frac{9}{4} - y^{2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow y = 0$

Vậy ${(S + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}$

\Leftrightarrow \frac{- 3}{2} \leq S + \frac{7}{2} \leq \frac{3}{2}

Û - 5 £ S £ -2

$P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} = \frac{2 (x + y + 6) - 15}{x + y + 6}$

$= 2 - \frac{15}{x + y + 6} = 2 - \frac{15}{S + 6}$ (2)

Với - 5 £ S £ -2

Û 1 £ S + 6 £ 4

$\Leftrightarrow \frac{15}{4} \leq \frac{15}{S + 6} \leq 15$

$\Leftrightarrow 2 - 15 \leq 2 - \frac{15}{S + 6} \leq 2 - \frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow - 13 \leq 2 - \frac{15}{S + 6} \leq - \frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow - 13 \leq P \leq - \frac{7}{4}$

Vậy suy ra GTNN của P = -13 $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 5 \\ y = 0 \end{matrix}$

Và GTLN của $P = \frac{- 7}{4} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 0 \end{matrix} .$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức $P = (\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x}) : (1 - \frac{2}{x}) .$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức P biết x là số thực thỏa mãn điều kiện: |2x - 1| = 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,125

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Lấy điểm M thuộc đoạn EB (M khác E và B). Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với MD tại D, đường thẳng này cắt AC tại N.

a) Chứng minh tam giác DEM đồng dạng tam giác DFN.

b) Chứng minh tam giác DMN đồng dạng tam giác ACB.

c) Chứng minh MN² = BM² + CN².

Xem đáp án » 13/07/2024 4,092

Câu 3:

Một người lái ô tô dự định đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 48 km/h. Nhưng thực tế, sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, ô tô nghỉ trong 10 phút. Do đó để kịp đến B đúng thời gian dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB.

b) Kích thước một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước (coi thành bể có độ dày không đáng kể; làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án » 13/07/2024 510

Câu 4:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x + 1}{2 x^{2} + 5 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - 4} = 2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.

Xem đáp án » 09/08/2022 315

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=2x+2y−3x+y+6.

Bình luận

Cho biểu thức P=x−1x2−2x+x+1x2+2x−4x3−4x:1−2x. a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P biết x là số thực thỏa mãn điều kiện: |2x - 1| = 5.

Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) 2x+12x2+5x+2−3x2−4=2; b) |x - 3| - |x2 - x + 1| = 1; c) (x2 - 1)(x3 + 1) ³ 0.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x + 2 y - 3}{x + y + 6} .$

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x + 1}{2 x^{2} + 5 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - 4} = 2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.