Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x−12=y1=z+2−1 và d2:x−11=y+23=z−2−2 . Gọi D là đường thẳng song song với mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A...

Đáp án đúng là: A Mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→=1; 1; 1 Điểm A thuộc d1:x−12=y1=z+2−1 nên ta có A(1 + 2a; a; -2 - a). Điểm B thuộc d2:x−11=y+23=z−2−2 nên ta có B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b) ⇒AB→=b−2a; 3b−a−2; a−2b+4 Ta có n→⊥AB→ (Vì D có vectơ chỉ phương là AB→ và song song với mặt phẳng (P)) ⇒n→.AB→=0 Þ b - 2a + 3b - a - 2 + a - 2b + 4 = 0 Û 2b - 2a + 2 = 0 Û 2a = 2b + 2 Û a = b + 1 Với AB→=b−2a; 3b−a−2; a−2b+4 ta có: AB=b−2a2+3b−a−22+a−2b+42 =b−2b−22+3b−b−1−22+b+1−2b+42 =−b−22+2b−32+−b+52 =b2+4b+4+4b2−12b+9+b2−10b+25 =6b2−18b+38=6b2−3b+38 =6b2−2.32b+94−6.94+38 =6b−322+492 Vậy ta có AB=6b−322+492≥492=722 Do đó AB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi b−32=0⇔b=32 Þ a=32+1=52 Khi đó ta có A6; 52; −92 và AB→=72; 0; −72=−72−1; 0; 1 Do đó đường thẳng D có vectơ chỉ phương là u→=−1; 0; 1 Phương trình đường thẳng D đi qua A6; 52; −92 và có vectơ chỉ phương u→=−1; 0; 1 là: Δ:x=6−t y=52 z=−92+t . Vậy ta chọn phương án A.

Câu hỏi:

14/08/2022 11,916

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Gọi D là đường thẳng song song với mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 và cắt hai đường thẳng d₁, d₂ lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng D là

A. $\{\begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = 6 - 2 t \\ y = \frac{5}{2} + t \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = 6 \\ y = \frac{5}{2} - t \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = \frac{9}{5} + 3 t \\ y = \frac{2}{5} + 6 t \\ z = - \frac{12}{5} + 10 t \end{matrix} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1)$

Điểm A thuộc $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ nên ta có A(1 + 2a; a; -2 - a).

Điểm B thuộc $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ nên ta có B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b)

$\Rightarrow \vec{A B} = (b - 2 a; 3 b - a - 2; a - 2 b + 4)$

Ta có $\vec{n} ⊥ \vec{A B}$ (Vì D có vectơ chỉ phương là $\vec{A B}$ và song song với mặt phẳng (P))

$\Rightarrow \vec{n} . \vec{A B} = 0$

Þ b - 2a + 3b - a - 2 + a - 2b + 4 = 0

Û 2b - 2a + 2 = 0

Û 2a = 2b + 2

Û a = b + 1

Với $\vec{A B} = (b - 2 a; 3 b - a - 2; a - 2 b + 4)$ ta có:

$A B = \sqrt{{(b - 2 a)}^{2} + {(3 b - a - 2)}^{2} + {(a - 2 b + 4)}^{2}}$

$= \sqrt{{(b - 2 b - 2)}^{2} + {(3 b - b - 1 - 2)}^{2} + {(b + 1 - 2 b + 4)}^{2}}$

$= \sqrt{{(- b - 2)}^{2} + {(2 b - 3)}^{2} + {(- b + 5)}^{2}}$

$= \sqrt{b^{2} + 4 b + 4 + 4 b^{2} - 12 b + 9 + b^{2} - 10 b + 25}$

$= \sqrt{6 b^{2} - 18 b + 38} = \sqrt{6 (b^{2} - 3 b) + 38}$

$= \sqrt{6 (b^{2} - 2. \frac{3}{2} b + \frac{9}{4}) - 6. \frac{9}{4} + 38}$

$= \sqrt{6 {(b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{49}{2}}$

Vậy ta có $A B = \sqrt{6 {(b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{49}{2}} \geq \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2}$

Do đó AB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $b - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}$

Þ $a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

Khi đó ta có $A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2})$ và $\vec{A B} = (\frac{7}{2}; 0; \frac{- 7}{2}) = - \frac{7}{2} (- 1; 0; 1)$

Do đó đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (- 1; 0; 1)$

Phương trình đường thẳng D đi qua $A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 0; 1)$ là:

$Δ : \{\begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix} .$

Vậy ta chọn phương án A.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(-1; 2; 3), B(1; 4; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0 là

A. 3x - y - 2z + 11 = 0;

B. 5x - 3y - 4z + 23 = 0;

C. 3x + 5y + z - 10 = 0;

D. 3x - 5y - 4z + 25 = 0.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0 là ${\vec{n}}_{(P)} = (1; - 1; 2)$

Với A(-1; 2; 3), B(1; 4; 2) ta có: $\vec{A B} = (2; 2; - 1)$

Þ $[\vec{A B}; \vec{n}]$ $= (|\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|)$

Þ $[\vec{A B}; \vec{n}]$ = (3; -5; -4)

Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) thì có vectơ pháp tuyến vuông góc với ${\vec{n}}_{(P)} = (1; - 1; 2)$ và $\vec{A B} = (2; 2; - 1)$ nên có vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{n}]$ = (3; -5; -4).

Phương trình mặt phẳng đi qua A(-1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; - 5; - 4)$

3(x + 1) - 5(y - 2) - 4(z - 3) = 0

Û 3x - 5y - 4z + 25 = 0

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?

A. x² + y² - z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0;

B. x² + y² + 2z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0;

C. x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0;

D. x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z + 3 = 0;

Lời giải

Đáp án đúng là: C

• Xét phương án A: x² + y² - z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) - (z² + 2z + 1) = 2

Û (x - 1)² + (y - 1)² - (z + 1)² = 2

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu

• Xét phương án B: x² + y² + 2z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (2z² - 2z + 1) = 4

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (2z² - 2z + 1) = 4

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu

• Xét phương án C: x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 4

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 4

Vậy phương trỉnh trên là phương trình mặt cầu tâm I(1; 1 ; 1) và bán kính R = 2.

• Xét phương án D: x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z + 3 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 0

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 0

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu do R = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Nhận xét nhanh:

Trong 4 phương án ta thấy:

• Phương án C có dạng phương trình tổng quát với hệ số của x², y², z² đều bằng 1 và hệ số tự do d = –1 < 0 nên chắc chắn là phương trình mặt cầu.

• Phương án A không có dạng phương trình tổng quát do có hệ số của z² bằng –1 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

• Phương án B không có dạng phương trình tổng quát do có hệ số của z² (bằng 2) khác hệ số của x², y² (bằng 1) nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

• Phương án D có dạng phương trình tổng quát và có $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2} - 3} = 0$

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (- 1; 2; - 3)$ và $\vec{b} = (- 2; 4; 5)$ . Giá trị của $\vec{a} . \vec{b}$ bằng

A. -16;

B. 16;

C. -5;

D. 5.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một ô tô đang chạy với vận tốc 8 m/s thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t) = -2t + 8 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?

A. 6 m;

B. 16 m;

C. 32 m;

D. 8 m.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Ông Năm có một khu đất dạng hình chữ nhật với chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m. Ông Năm trồng rau sạch trên một mảnh vườn được giới hạn bởi hai parabol. Biết rằng mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai điểm đầu mút của cạnh dài đối diện (phần gạch sọc như hình vẽ minh họa).

Biết chi phí trồng rau là 45 000 đồng/m². Hỏi ông Năm cần bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn) để trồng rau trên phần mảnh vườn đó?

A. 2 159 000 đồng;

B. 2 715 000 đồng;

C. 3 322 000 đồng;

D. 1 358 000 đồng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 - x², trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành bằng

A. $\frac{4}{3};$

B. $\frac{16 π}{15};$

C. $\frac{16}{15};$

D. $\frac{4 π}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(-1; 2; 3), B(1; 4; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0 là

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→=−1; 2; −3 và b→=−2; 4; 5 . Giá trị của a→.b→ bằng

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 - x2, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (- 1; 2; - 3)$ và $\vec{b} = (- 2; 4; 5)$ . Giá trị của $\vec{a} . \vec{b}$ bằng

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 - x², trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành bằng