c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh AE.CH = AH.FC.

Hướng dẫn giải

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB.

Thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h là $\frac{x}{50}$  (h)

Ô tô đi từ B về A với vận tốc lớn hơn lúc đi 10 km/h tức là 60 km/h với số thời gian là $\frac{x}{60}$(h)

Đổi 24 phút = $\frac{2}{5}$  giờ.

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 24 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{50}-\frac{x}{60}=\frac{2}{5}$

$\iff \frac{6x}{300}-\frac{5x}{300}=\frac{2}{5}$

$\iff \frac{x}{300}=\frac{2}{5}$

$\iff x=300.\frac{2}{5}=120$ (thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB dài 200 km.

d) Ta có:

+) ∆EHA ᔕ ∆FHC (cmt)

$\Rightarrow \frac{EH}{FH}=\frac{HA}{HC}$

+) ∆HAC ᔕ ∆ABC (cmt)

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{HA}{HC}$

Suy ra $\frac{EH}{FH}=\frac{AB}{AC}\left(=\frac{HA}{HC}\right)$

$\iff \frac{HE}{AB}=\frac{HF}{AC}$

+) Xét DEHF và DBAC có:

$\left.\begin{array}{c}\frac{HE}{AB}=\frac{HF}{AC}\left(cmt\right)\\ \widehat{EHF}=\widehat{BAC}\left(=90°\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta EHF\backsim \Delta BAC\left(c.g.c\right)$

Khi đó tỉ lệ diện tích của hai tam giác DEHF và DBAC cũng bằng bình phương tỉ lệ của hai cạnh HE và AB

$\iff \frac{S_{EHF}}{S_{BAC}}={\left(\frac{HE}{AB}\right)}^2\Rightarrow S_{EHF}=S_{BAC}.{\left(\frac{HE}{AB}\right)}^2$

Vì S_ABC và AB không đổi nên S_EHF nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất

Do đó EH ^ AB.

Vậy S_EHF nhỏ nhất khi E là hình chiếu của H trên AB.