Cho a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n = k.

Chứng minh rằng: ${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+\mathrm{...}+{a_n}^2\ge \frac{k^2}{n}$  (n Î ℕ*)

Hướng dẫn giải

1. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)$

Xét hai tam giác ABC và HBA có

$\left.\begin{array}{c}\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90°\right)\\ \widehat{HBA}=\widehat{ABC}\left(\widehat{B}chung\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{HB}{AB}=\frac{BA}{BC}\iff HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\mathrm{3,6}\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H có

$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{6^2-{\mathrm{3,6}}^2}=\mathrm{4,8}\left(cm\right)$

Vậy HB = 3,6 cm; AH = 4,8 cm.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào hai cạnh IB và IC ta thấy:

IB² + IC² ³ 2IB.IC

$\iff IB.IC\le \frac{I{B}^2+I{C}^2}{2}$

Mà áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BIC vuông tại I nên

BC² = IB² + IC²

Thay vào (1) ta suy ra được:

$S_{BIC}\le \frac{1}{2}.\frac{I{B}^2+I{C}^2}{2}=\frac{B{C}^2}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\left(c{m}^2\right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IB = IC.

Suy ra DIBC cân tại I nên tam giác IBC vuông cân tại I

$\iff \widehat{MBC}=45°$

Vậy khi điểm M thuộc AC sao cho $\widehat{MBC}=45°$  thì diện tích tam giác BIC đạt giá trị lớn nhất.