Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (Với A, B là hai tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O; R) tại E. Đoạn ME cắt đường tròn (O; R) tại F. Hai đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I.

1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn và IB² = IF.IA.

2) Chứng minh IM = IB.

1) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ^ OA.

Suy ra  $\widehat{OAM}$ = 90°.

Tương tự  $\widehat{OBM}$= 90° nên  $\widehat{OAM}+\widehat{OBM}$ = 180°.

Do đó tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Do IB là tiếp tuyến của (O) ta có  $\widehat{FAB}=\widehat{IBF}=\frac{1}{2}BF$ hay  $\widehat{IAB}=\widehat{IBF}$

Xét ∆IBA và ∆IFB có:

 $\widehat{BIA}$ là góc chung

  $\widehat{IAB}=\widehat{IBF}$(cmt)

Do đó ∆IBA  ∆IFB (g.g)

Suy ra  $\frac{IB}{IF}=\frac{IA}{IB}$ (các cạnh tương ứng)

Do đó IB² = IF.IA (đpcm) (1)

2) Vì AE // MB (gt) nên  $\widehat{EMB}=\widehat{MEA}$ (hai góc so le trong) hay  $\widehat{FMI}=\widehat{FEA}$(2)

Do MA là tiếp tuyến của (O) ta có  $\widehat{MAF}=\widehat{FEA}=\frac{1}{2}AF$ hay  $\widehat{MAI}=\widehat{FEA}$(3)

Từ (2) và (3) suy ra  $\widehat{FMI}=\widehat{MAI}$.

Xét ∆IMF và ∆IAM có:

 $\widehat{IAM}$ là góc chung

 $\widehat{FMI}=\widehat{MAI}$ (cmt)

Do đó ∆IMF  $\backsim$ ∆IAM (g.g)

Suy ra $\frac{IM}{IA}=\frac{IF}{IM}$ (các cạnh tương ứng)

Do đó IM² = IF.IA (4)

Từ (1) và (4) suy ra IB² = IM² Þ IB = IM (đpcm)

Vậy IB = IM.