Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (Với A, B là hai tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O; R) tại E. Đoạn ME cắt đường tròn (O; R) tại F. Hai đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I.

1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn và IB² = IF.IA.

2) Chứng minh IM = IB.

1) x² – 2x $\frac{-2}{\sqrt{x}-2}$ 1 = 0 (với a = 1, b’ = = −1, c = −1)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (−1)² + 1 = 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ =  $\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$= 1 +  $\sqrt{2}$; x₂ =  $\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$= 1 −  $\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 +  $\sqrt{2}$; x₂ = 1 −  $\sqrt{2}$.

2) A =  $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}-4}{x-4}$

=  $\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

=  $\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+2\right)+2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

=  $\frac{x-2\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}+2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

=  $\frac{-2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$ =  $\frac{-2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

=$\frac{-2}{\sqrt{x}-2}$  .

Vậy A =  $\frac{-2}{\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4.

+)  $\sqrt{3x^2+6x+7}$=  $\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+4}$=  $\sqrt{3{(x+1)}^2+4}$

Vì 3(x + 1)² + 4 ≥ 4 Þ  $\sqrt{3{(x+1)}^2+4}$ ≥ 2

+)  $\sqrt{5x^2+10x+21}$=  $\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+16}$=  $\sqrt{5{\left(x+1\right)}^2+16}$

Vì 5(x + 1)² + 16 ≥ 16 Þ  $\sqrt{5{\left(x+1\right)}^2+16}$ ≥ 4

Þ VT ≥ 2 + 4 = 6

Dấu “=” xảy ra Û x + 1 = 0 Û x = −1.

VP: 5 − 2x – x² = −(x² + 2x – 5) = −(x² + 2x + 1 – 6) = 6 − (x + 1)² ≤ 6

Dấu “=” xảy ra khi Û x = −1

Þ VT = VP = 6 khi x = −1

Vậy phương trình có một nghiệm là x = −1.