Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P=xy+2(x+y) đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\{\begin{matrix} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + {(m - x)}^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + m^{2} - 2 m x + x^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ 2 x^{2} - 2 m x + 2 m^{2} - 6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0 \end{matrix}$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0$ có nghiệm

$\Leftrightarrow Δ = m^{2} - 4 (m^{2} - 3) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m^{2} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow 12 - 3 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Với m thỏa mãn $- 2 \leq m \leq 2$ thì phương trình có nghiệm (x;y). Khi đó ta có:

$P = x y + 2 (x + y) = \frac{1}{2} [{(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2})] + 2 (x + y) \Leftrightarrow P = \frac{1}{2} [m^{2} - (- m^{2} + 6)] + 2 m = \frac{1}{2} (2 m^{2} - 6) + 2 m \Leftrightarrow P = m^{2} + 2 m - 3 = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$

Nhận xét: ${(m + 1)}^{2} \geq 0 \forall m \in [- 2; 2]$ , dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$ thỏa mãn điều kiện

$\Rightarrow P \geq - 4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$

Vậy minP=-4 khi m=-1

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ 3 x - 3 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 10 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 2.2 + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(2;1)

Câu 2

Không sử dụng máy tính cầm tay, Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix} 3 x - y = 1 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} .$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{matrix} 3 x - y = 1 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 x - 2 y = 2 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 7 x = 7 \\ 3 x - y = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 x - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix} .$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(1;2)

Câu 3