Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số)

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $P = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\{\begin{matrix} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + {(m - x)}^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} + m^{2} - 2 m x + x^{2} = - m^{2} + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ 2 x^{2} - 2 m x + 2 m^{2} - 6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = m - x \\ x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0 \end{matrix}$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - m x + m^{2} - 3 = 0$ có nghiệm

$\Leftrightarrow Δ = m^{2} - 4 (m^{2} - 3) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m^{2} + 12 \geq 0 \Leftrightarrow 12 - 3 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Với m thỏa mãn $- 2 \leq m \leq 2$ thì phương trình có nghiệm (x; y). Khi đó ta có:

$P = x y + 2 (x + y) = \frac{1}{2} [{(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2})] + 2 (x + y)$

$\Leftrightarrow P = \frac{1}{2} [m^{2} - (- m^{2} + 6)] + 2 m = \frac{1}{2} (2 m^{2} - 6) + 2 m \Leftrightarrow P = m^{2} + 2 m - 3 = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$

Nhận xét: ${(m + 1)}^{2} \geq 0 \forall m \in [- 2; 2]$ , dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1$ thỏa mãn điều kiện.

$\Rightarrow P \geq - 4$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m = - 1.$

Vậy minP=-4 khi m=-1

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 4,801

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{matrix}$

Xem đáp án » 12/07/2024 4,529

Câu 3:

Không sử dụng máy tính cầm tay, Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix} 3 x - y = 1 \\ x + 2 y = 5 \end{matrix} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,909

Câu 4:

Tìm a và b biết hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + y = 1 \\ a x + b y = - 5 \end{cases}$ có một nghiệm là (2;-3).

Xem đáp án » 12/07/2024 3,562

Câu 5:

Giải hệ phương trình sau : $\{\begin{cases} 5 x + 7 y = 3 \\ 5 x - 4 y = - 8 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,318

Câu 6:

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ x - 3 y = 10 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,303

Câu 7:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,959

Xem thêm các câu hỏi khác »