Câu hỏi:

13/07/2024 4,761

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6 a + 3 b + 2 c = a b c$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{b^{2} + 4}} + \frac{3}{\sqrt{c^{2} + 9}}$

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả thiết của bài toán được viết lại thành $\frac{6}{b c} + \frac{3}{c a} + \frac{2}{a b} = 1.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{2}{y}, c = \frac{3}{z}$ , khi đó ta được $x y + y z + z x = 1$

Biểu thức B được viết lại thành $B = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^{2} + 1}}$

Để ý đến giả thiết $x y + y z + z x = 1$ ta có : $x^{2} + 1 = x^{2} + x y + y z + z x = (x + y) (z + x)$

Khi đó ta được : $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}}$ . Hoàn toàn tương tự ta được :

$Q = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}} + \frac{y}{\sqrt{(x + y) (y + z)}} + \frac{z}{\sqrt{(z + x) (y + z)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

$\frac{x}{\sqrt{(x + y) (z + x)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{x}{x + y} + \frac{x}{z + x})$

$\begin{array}{l} \frac{y}{\sqrt{(x + y) (z + x)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{y}{x + y} + \frac{y}{y + z}) \\ \frac{z}{\sqrt{(x + z) (y + z)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{z}{z + x} + \frac{z}{y + z}) \end{array}$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

$Q = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}} + \frac{y}{\sqrt{(x + y) (y + z)}} + \frac{z}{\sqrt{(z + x) (y + z)}} \leq \frac{3}{2}$

Vậy $M a x Q = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{3}, c = 3 \sqrt{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Lấy hai điểm phân biệt C và D trên nửa đường tròn (O) sao cho C thuộc cung AD (C,D không trùng với A, B). Gọi H là giao điểm của AD và ,E là giao điểm của AC và BD

1) Chứng minh tứ giác CEDH nội tiếp

Xem đáp án » 13/07/2024 2,261

Câu 2:

2) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B \leq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,772

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số)

1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

Xem đáp án » 13/07/2024 1,180

Câu 4:

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $|x_{1} - x_{2}| = 6$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,047

Câu 5:

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 895

Câu 6:

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $C D = R \sqrt{3}$ , Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

Xem đáp án » 11/07/2024 615

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6 a + 3 b + 2 c = a b c$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{b^{2} + 4}} + \frac{3}{\sqrt{c^{2} + 9}}$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

2) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B \leq \frac{1}{2}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số)

1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $|x_{1} - x_{2}| = 6$

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $C D = R \sqrt{3}$ , Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a+3b+2c=abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=1a2+1+2b2+4+3c2+9

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

2) Cho biểu thức B=1x−x+1x−1:x+1x−12x>0x≠1 Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho B≤12

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số) 1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi x1,x2 lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để x1−x2=6

1) Rút gọn biểu thức A=20−45+6+25

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho CD=R3, Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6 a + 3 b + 2 c = a b c$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{b^{2} + 4}} + \frac{3}{\sqrt{c^{2} + 9}}$

2) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B \leq \frac{1}{2}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số)

1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $|x_{1} - x_{2}| = 6$

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $C D = R \sqrt{3}$ , Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.