Câu hỏi:

13/07/2024 5,121

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6 a + 3 b + 2 c = a b c$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{b^{2} + 4}} + \frac{3}{\sqrt{c^{2} + 9}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả thiết của bài toán được viết lại thành $\frac{6}{b c} + \frac{3}{c a} + \frac{2}{a b} = 1.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{2}{y}, c = \frac{3}{z}$ , khi đó ta được $x y + y z + z x = 1$

Biểu thức B được viết lại thành $B = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^{2} + 1}}$

Để ý đến giả thiết $x y + y z + z x = 1$ ta có : $x^{2} + 1 = x^{2} + x y + y z + z x = (x + y) (z + x)$

Khi đó ta được : $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}}$ . Hoàn toàn tương tự ta được :

$Q = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}} + \frac{y}{\sqrt{(x + y) (y + z)}} + \frac{z}{\sqrt{(z + x) (y + z)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

$\frac{x}{\sqrt{(x + y) (z + x)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{x}{x + y} + \frac{x}{z + x})$

$\begin{array}{l} \frac{y}{\sqrt{(x + y) (z + x)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{y}{x + y} + \frac{y}{y + z}) \\ \frac{z}{\sqrt{(x + z) (y + z)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{z}{z + x} + \frac{z}{y + z}) \end{array}$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

$Q = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}} + \frac{y}{\sqrt{(x + y) (y + z)}} + \frac{z}{\sqrt{(z + x) (y + z)}} \leq \frac{3}{2}$

Vậy $M a x Q = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{3}, c = 3 \sqrt{3}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Lấy hai điểm phân biệt C và D trên nửa đường tròn (O) sao cho C thuộc cung AD (C,D không trùng với A, B). Gọi H là giao điểm của AD và ,E là giao điểm của AC và BD

1) Chứng minh tứ giác CEDH nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

1) Vì C, D $\in$ đường tròn đường kính AB do đó $∠ A C B = ∠ A D B = 90 ° .$ Do đó $∠ E C H = ∠ E D H = 90 °$

Vậy tứ giác CEDH nội tiếp đường tròn đường kính EH

Câu 2

2) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B \leq \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

2) $\begin{array}{l} B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array}) \\ = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} . \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \end{array}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

Ta có $B = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \sqrt{x} - 2 = \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 (t m)$

Vậy x = 4 thì B= $\frac{1}{2}$

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số)

1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $|x_{1} - x_{2}| = 6$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $C D = R \sqrt{3}$ , Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a+3b+2c=abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=1a2+1+2b2+4+3c2+9

2) Cho biểu thức B=1x−x+1x−1:x+1x−12x>0x≠1 Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho B≤12

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số) 1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi x1,x2 lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để x1−x2=6

1) Rút gọn biểu thức A=20−45+6+25

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho CD=R3, Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6 a + 3 b + 2 c = a b c$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{b^{2} + 4}} + \frac{3}{\sqrt{c^{2} + 9}}$

2) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B \leq \frac{1}{2}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số)

1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $|x_{1} - x_{2}| = 6$

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $C D = R \sqrt{3}$ , Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.