Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6a+3b+2c=abc$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^2+9}}$

Giả thiết của bài toán được viết lại thành $\frac{6}{bc}+\frac{3}{ca}+\frac{2}{ab}=1.$

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{2}{y},c=\frac{3}{z}$ , khi đó ta được $xy+yz+zx=1$

Biểu thức B được viết lại thành $B=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}$

Để ý đến giả thiết $xy+yz+zx=1$ta có : $x^2+1=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(z+x\right)$

Khi đó ta được : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}$. Hoàn toàn tương tự ta được :

$Q=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

$\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x}\right)$

$\begin{array}{l}\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\\ \frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{y+z}\right)\end{array}$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

$Q=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\le \frac{3}{2}$

Vậy $MaxQ=\frac{3}{2}\iff a=\sqrt{3},b=2\sqrt{3},c=3\sqrt{3}$