Câu hỏi:

13/07/2024 4,492

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6 a + 3 b + 2 c = a b c$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{b^{2} + 4}} + \frac{3}{\sqrt{c^{2} + 9}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả thiết của bài toán được viết lại thành $\frac{6}{b c} + \frac{3}{c a} + \frac{2}{a b} = 1.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{2}{y}, c = \frac{3}{z}$ , khi đó ta được $x y + y z + z x = 1$

Biểu thức B được viết lại thành $B = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^{2} + 1}}$

Để ý đến giả thiết $x y + y z + z x = 1$ ta có : $x^{2} + 1 = x^{2} + x y + y z + z x = (x + y) (z + x)$

Khi đó ta được : $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}}$ . Hoàn toàn tương tự ta được :

$Q = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}} + \frac{y}{\sqrt{(x + y) (y + z)}} + \frac{z}{\sqrt{(z + x) (y + z)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

$\frac{x}{\sqrt{(x + y) (z + x)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{x}{x + y} + \frac{x}{z + x})$

$\begin{array}{l} \frac{y}{\sqrt{(x + y) (z + x)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{y}{x + y} + \frac{y}{y + z}) \\ \frac{z}{\sqrt{(x + z) (y + z)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{z}{z + x} + \frac{z}{y + z}) \end{array}$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

$Q = \frac{x}{\sqrt{(x + y) (x + z)}} + \frac{y}{\sqrt{(x + y) (y + z)}} + \frac{z}{\sqrt{(z + x) (y + z)}} \leq \frac{3}{2}$

Vậy $M a x Q = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{3}, c = 3 \sqrt{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Lấy hai điểm phân biệt C và D trên nửa đường tròn (O) sao cho C thuộc cung AD (C,D không trùng với A, B). Gọi H là giao điểm của AD và ,E là giao điểm của AC và BD

1) Chứng minh tứ giác CEDH nội tiếp

Xem đáp án » 13/07/2024 1,935

Câu 2:

2) Cho biểu thức $B = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B \leq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,340

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 5(m là tham số)

1) Trên (P) tìm các điểm có tung độ bằng 2

Xem đáp án » 13/07/2024 1,097

Câu 4:

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $|x_{1} - x_{2}| = 6$

Xem đáp án » 13/07/2024 927

Câu 5:

1) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 780

Câu 6:

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $C D = R \sqrt{3}$ , Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

Xem đáp án » 11/07/2024 553

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP