Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Chọn A.

Phương pháp:

+ Xác định chiều cao của hình chóp

+ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Bước 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Kẻ đường trung trực một cạnh bên giao với trục đường tròn ở đâu đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dựa vào định lý Pytago.

+ Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích là $S=4\pi R^2$

Cách giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB; CD .

Kẻ SH$\perp$MN tại H .

Ta có SN$\perp$DC ; MN $\perp$DC   

$\Rightarrow$DC$\perp$( SMN )

$\Rightarrow$DC$\perp$SH

Mà SH $\perp$MN

$\Rightarrow$ SH $\perp$(ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:

Vì tam giác SDC vuông cân tại S có cạnh huyền CD = a 

$\Rightarrow$SN=$\frac{a}{2}$

Vì tam giác ABS  đều cạnh a

$\Rightarrow$ SM =  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SNM có:

$\Rightarrow$$△SMN$ vuông tại S.

Suy ra:

Nhận thấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .

Kẻ tia Oy / /SH  , khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD nằm trên đường thẳng Oy.

Trên tia OM  ta lấy K sao cho OK = OA =$\frac{a\sqrt{2}}{2}$, khi đó K $\in$ (O; OA)

Trong mặt phẳng (SMN ), lấy E là trung điểm SK , kẻ EI  là đường trung trực của SK  (I $\in$ Oy).

Khi đó:

IK = IS = IA = IB = IC = ID nên I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD và bán kính là R = IK.

Kẻ SF $\perp$Oy

Gắn hệ trục Oxy với OM $\equiv$Ox; Oy / /SH

Đặt $I(0,y_o)$

Xét tam giác vuông ISF có:

Xét tam giác vuông OIK có:

Vì 

Suy ra bán kính mặt cầu:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: