Có bao nhiêu cách xếp 6 lá thư khác nhau vào 6 chiếc phong bì khác nhau (mỗi lá thư vào trong một phong bì) ?

Hướng dẫn giải

Để chọn trang phục biểu diễn, các anh hề có thể thực hiện 4 công đoạn, gồm:

– Công đoạn 1: chọn mũ;

– Công đoạn 2: chọn tóc giả;

– Công đoạn 3: chọn mũi giả;

– Công đoạn 4: chọn quần áo.

Xét các công đoạn:

Công đoạn 1:

Có 3 anh hề và 10 chiếc mũ nên số cách chọn mũ để đội (có sắp xếp) cho 3 anh hề là số các chỉnh hợp chập 3 của 10 và là:

\[A_{10}^3 = \frac{{10!}}{{(10 - 3)!}} = \frac{{10.9.8.7!}}{{7!}} = 10.9.8 = 720\] (cách).

Công đoạn 2:

Có 3 anh hề và 6 bộ tóc giả nên số cách chọn tóc giả (có sắp xếp) cho 3 anh hề là số các chỉnh hợp chập 3 của 6 và là:

\[A_6^3 = \frac{{6!}}{{(6 - 3)!}} = \frac{{6.5.4.3!}}{{3!}} = 6.5.4 = 120\](cách).

Công đoạn 3:

Có 3 anh hề và 5 mũi hề nên số cách chọn mũi hề (có sắp xếp) cho 3 anh hề là số các chỉnh hợp chập 3 của 5 và là:

\[A_5^3 = \frac{{5!}}{{(5 - 3)!}} = \frac{{5.4.3.2!}}{{2!}} = 5.4.3 = 60\](cách).

Công đoạn 4:

Có 3 anh hề và 8 bộ quần áo nên số cách chọn quần áo (có sắp xếp) cho 3 anh hề là số các chỉnh hợp chập 3 của 8 và là:

\[A_8^3 = \frac{{8!}}{{(8 - 3)!}} = \frac{{8.7.6.5!}}{{5!}} = 8.7.6 = 336\] (cách)

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách chọn trang phục của 3 anh hề là:

720 . 120 . 60 . 336 = 1 741 824 000 (cách).

Hướng dẫn giải

Các số từ 1 đến 999 999 có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng \(\overline {abcdef} \), trong đó mỗi kí hiệu a, b, c, d, e, f nhận một trong các giá trị 0; 1; 2;..., 9. Chẳng hạn số \(\overline {001234} \) được hiểu là số 1234.

Để tạo thành một số \(\overline {abcdef} \) thoả mãn yêu cầu chứa đúng một chữ số 1 và đúng một chữ số 2, ta có thể tiến hành qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: chọn ra 2 kí hiệu trong số a, b, c, d, e, f để thay bằng các chữ số 1; 2;

– Công đoạn 2: thay 4 kí hiệu còn lại, mỗi kí hiệu bằng một chữ số bất kì trong số tám chữ số còn lại 0; 3; 4;...; 9.

Xét công đoạn 1: Chọn ra 2 kí hiệu từ 6 kí hiệu để thay chúng tương ứng bằng 1; 2 (có sắp xếp), số cách chọn là số các chỉnh hợp chập 2 của 6 và là:

\(A_6^2 = \frac{{6!}}{{(6 - 2)!}} = \frac{{6.5.4!}}{{4!}} = 6.5 = 30\) (cách)

Xét công đoạn 2: Thay 4 kí hiệu còn lại, mỗi kí hiệu bằng một chữ số bất kì trong số tám chữ số còn lại 0; 3; 4;...; 9. Tức là mỗi kí hiệu còn lại có thể được thay bằng 8 cách khác nhau. Do đó có tổng cộng: 8 . 8 . 8 . 8 = 4 096 (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân, số các số từ 1 đến 999 999 cần tìm là:

30 . 4 096 = 122 880 (số).