Cho phương trình: $\left(m^2-m+2021\right)x^3-\left(2m^2-2m+4040\right)x^2-4x+m^2-m+2021=0$.

Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được định lí giá trị trung gian và kết hợp với tính năng bảng giá trị của máy tính Casio để tìm các khoảng mà phương trình có nghiệm.

* Xét $f\left(x\right)=\left(m^2-m+2021\right)x^3-\left(2m^2-2m+4040\right)x^2-4x+m^2-m+2021$ có tập xác định là R và liên tục trên R.

Ta có:

$f\left(-1\right)=-2m^2+2m-4035$$=-2{\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{8069}{2}<0,\forall m$

$f\left(0\right)=m^2-m+2021$  $={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8083}{4}>0,\forall m$

$f\left(1\right)=-2$$<0,\forall m$

$f\left(2\right)=m^2-m+2021$ $={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8083}{4}>0,\forall m$

Do đó:

* $f\left(-1\right).f\left(0\right)=<0$ nên $\exists x_1\in \left(-1;0\right):f\left(x_1\right)=0$

Suy ra phương trình f(x)=0  có ít nhất một nghiệm thuộc (-1,0)

* $f\left(0\right).f\left(1\right)=<0$ nên $\exists x_2\in \left(0;1\right):f\left(x_2\right)=0$

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1)

* $f\left(1\right).f\left(2\right)=<0$ nên $\exists x_3\in \left(1;2\right):f\left(x_3\right)=0$

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1,2)

Vì ba khoảng $\left(-1;0\right)$, (0,1) và (1,2)rởi nhau đôi một nên phương trình f(x)=0 có ít nhất ba nghiệm trên R.

Mặt khác, vì $m^2-m+2021>0,\forall m$  nên  f(x) là một đa thức bậc ba nên phương trình f(x)=0 chỉ có tối đa ba nghiệm trên R.

Kết luận: Phương trình f(x)=0  luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.