$J={10}^n+18n-1$ chia hết cho 27

$J={10}^n+18n-1=\left({10}^n-1\right)+18n$ 

$J=\mathrm{99...9}+18n$ (số  $\mathrm{99...9}$có $n$ chữ số 9) 
$J=9.\left(\mathrm{11...1}+2n\right)$ (số  $\mathrm{11...1}$có $n$ chữ số 1)

 $J=9.L$ 
Xét biểu thức trong ngoặc

 $L=\mathrm{11...1}+2n=\mathrm{11...1}-n+3n$ (số  $\mathrm{11...1}$có $n$ chữ số 1)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.

Số  $\mathrm{11...1}$có  chữ số  có tổng các chữ số là  $1+1+\mathrm{...}+1=n$ (vì có n chữ số 1). 
 $\Rightarrow \mathrm{11...1}$ ( chữ số ) và  có cùng số dư trong phép chia cho  

$\Rightarrow \mathrm{11...1}$ (n chữ số 1)$-n⋮3$

$L⋮3$ 

 $\Rightarrow 9.L⋮27$hay  $J={10}^n+18n-1$chia hết cho 27 (đpcm)