Điểm trung bình một số môn học của hai bạn An và Nam trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau:

Môn	Điểm của An	Điểm của Nam
Toán Vật Lý Hóa học Sinh học Ngữ Văn Lịch sử Địa lý Giáo dục thể chất	8,0 7,5 7,8 8,3 7,0 8,0 8,2 9,0	8,5 9,5 9,5 8,5 5,0 5,5 6,0 9,0

Hỏi ai “học lệch” hơn?

Đáp án đúng là: C

Ta thấy m, n đều là số tự nhiên.

Số học sinh của lớp đó là: 10 + m + 8 + 6 + n + 3 = 40 Þ m + n = 13 (1)

Số sách trung bình là: $\overline{x}=\frac{10.1+2m+3.8+4.6+5n+6.3}{40}=\frac{2m+5n+76}{40}$  .

Vì phương sai của mẫu số liệu xấp xỉ 2,52 nên ta có:

 $\frac{1}{40}\left({10.1}^2+m{.2}^2+{8.3}^2+{6.4}^2+n{.5}^2+{3.6}^2\right)-{\overline{x}}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(4m+25n+286\right)-{\left(\frac{2m+5n+76}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$ (2)

Ta thấy m, n là nghiệm của phương trình (1), (2) và m, n là số tự nhiên.

Cách 1:

Thế m = 7, n = 6 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,6 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án A.

Thế m = 6, n = 7 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,669 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án B.

Thế m = 8, n = 5 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,52 (đúng)

Do đó ta chọn đáp án C.

Thế m = 5, n = 8 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,73 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án D.

Vậy m = 8 và n = 5.

Cách 2:

Từ (1) ta có: n = 13 – m, thay vào (2) ta được:

$\frac{1}{40}\left[4m+25\left(13-m\right)+286\right]-{\left[\frac{2m+5\left(13-m\right)+76}{40}\right]}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(611-21m\right)-{\left(\frac{141-3m}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(611-21m\right)-\frac{{141}^2-\mathrm{2.141.3}m+9m^2}{1600}\approx \mathrm{2,52}$

Û ‒9m2 + 6m + 4559 – 4032 ≈ 0

Û ‒9m2 + 6m + 527 ≈ 0

 $\iff \left[\begin{array}{l}m\approx 8\left(tm\right)\\ m\approx -\mathrm{7,3}\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Với m = 8 ta có n = 13 – 8 = 5.

Vậy m = 8 và n = 5.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

• Đối với bạn Minh:

 ${\overline{x}}_1=\frac{12+13+16+12+11+12+12+15+14}{9}=13$

 $S_1^2=\frac{1}{9}\left({12}^2+{13}^2+{16}^2+{12}^2+{11}^2+{12}^2+{12}^2+{15}^2+{14}^2\right)-{13}^2=\frac{22}{9}\approx \mathrm{2,4}$

• Đối với bạn Bình:

 ${\overline{x}}_2=\frac{15+15+16+18+14+14+13+13+12}{9}=\frac{130}{9}$

$S_2^2=\frac{1}{9}\left({15}^2+{15}^2+{16}^2+{18}^2+{14}^2+{14}^2+{13}^2+{13}^2+{12}^2\right)-{\left(\frac{130}{9}\right)}^2=\frac{236}{81}\approx \mathrm{2,9}$

• Đối với bạn Đức:

 $\frac{15+10+10+12+19+14+12+11+11}{9}=\frac{38}{3}$

 $S_1^2=\frac{1}{9}\left({15}^2+{10}^2+{10}^2+{12}^2+{19}^2+{14}^2+{12}^2+{11}^2+{11}^2\right)-{\left(\frac{38}{3}\right)}^2=\frac{68}{9}\approx \mathrm{7,6}$

Ta thấy phương sai mẫu số liệu của bạn Minh nhỏ nhất nên bạn Minh chạy ổn định nhất.