Câu hỏi:

05/01/2023 172

Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là các nghiệm phức của phương trình ${(z^{2} + z)}^{2} + 4 (z^{2} + z) - 12 = 0$ . Giá trị của biểu thức $S = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2}$ là

A. S = 18

B. S = 16

C. S = 17

D. S = 15

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Ta có: ${(z^{2} + z)}^{2} + 4 (z^{2} + z) - 12 = 0$

Đặt $t = z^{2} + z$ , ta có $t^{2} + 4 t - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 6 \end{array}$

Suy ra: $[\begin{array}{l} z^{2} + z - 2 = 0 \\ z^{2} + z + 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 1 \\ z_{2} = - 2 \\ z_{3} = \frac{- 1 + i \sqrt{23}}{2} \\ z_{4} = \frac{- 1 - i \sqrt{23}}{2} \end{array}$

Suy ra

S = 1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{23}}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{23}}{2})}^{2} = 17

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho số thực a, biết rằng phương trình $z^{4} + a z^{2} + 1 = 0$ có bốn nghiệm z_1,z_2,z_3,z₄thỏa mãn $(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = 441$ . Tìm a

A. $[\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} a = 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}$

Lời giải

Chọn B

Nhận xét: $z^{2} + 4 = z^{2} - {(2 i)}^{2} = (z + 2 i) (z - 2 i)$

Đặt $f (x) = z^{4} + a z^{2} + 1,$ ta có:

$(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = \prod_{k = 1}^{4} (z_{k} + 2 i) . \prod_{k = 1}^{4} (z_{k} - 2 i) = f (- 2 i) . f (2 i) = (16 i^{4} + 4 a i^{2} + 1) (16 i^{4} + 4 a i^{2} + 1) = {(17 - 4 a)}^{2}$

Theo giả thiết, ta có

{(17 - 4 a)}^{2} = 441 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}

Câu 2

Phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

A. 31

B. 5

C. 19

D. 29

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên ta có:

${(3 + 4 i)}^{2} + a (3 + 4 i) + b = 0 \Leftrightarrow (3 a + b - 7) + (4 a + 24) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + b - 7 = 0 \\ 4 a + 24 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases}$

Do đó a + b = 19

Cách 2: Vì $z_{1} = 3 + 4 i$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên $z_{2} = 3 - 4 i$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1} . z_{2} = b \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (3 + 4 i) + (3 - 4 i) = - a \\ (3 + 4 i) (3 - 4 i) = b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases} \Rightarrow a + b = 19$

Câu 3

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\frac{7 - 4 i}{z_{1}}$ trên mặt phẳng phức là

A. P(3;2)

B. N(1;-2)

C. Q(3;-2)

D. M(1;2)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi z₁, z₂là hai nghiệm của phương trình $2 z^{2} + z + 1 = 0$ . Giá trị của biểu thức $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ là

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi z_1,z₂là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 7 = 0$ . Giá tị của $P = z_{1}^{3} + z_{2}^{3}$ bằng

A. -20

B. 20

C. $14 \sqrt{7}$

D. $28 \sqrt{7}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tất cả các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 5 = 0$ là

A. $\pm 5$

B. $\pm 5 i$

C. $\pm \sqrt{5} i$

D. $\pm \sqrt{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi $z_{0}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 6 z + 34 = 0$ . Giá trị của $|z_{0} + 2 - i|$ là

A. $\sqrt{17}$

B. 17

C. $2 \sqrt{17}$

D. $\sqrt{37}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình z2+z2+4z2+z−12=0. Giá trị của biểu thức S=z12+z22+z32+z42 là

Cho số thực a, biết rằng phương trình z4+az2+1=0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 thỏa mãn z12+4z22+4z32+4z42+4=441. Tìm a

Phương trình z2+az+b=0 a,b∈ℝ có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2−2z+5=0. Tọa độ điểm biểu diễn số phức 7−4iz1 trên mặt phẳng phức là

Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2+z+1=0. Giá trị của biểu thức A=z12+z22 là

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−4z+7=0. Giá tị của P=z13+z23 bằng

Tất cả các nghiệm phức của phương trình z2+5=0 là

Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2+6z+34=0. Giá trị của z0+2−i là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là các nghiệm phức của phương trình ${(z^{2} + z)}^{2} + 4 (z^{2} + z) - 12 = 0$ . Giá trị của biểu thức $S = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2}$ là

Cho số thực a, biết rằng phương trình $z^{4} + a z^{2} + 1 = 0$ có bốn nghiệm z_1,z_2,z_3,z₄thỏa mãn $(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = 441$ . Tìm a

Phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\frac{7 - 4 i}{z_{1}}$ trên mặt phẳng phức là

Gọi z₁, z₂là hai nghiệm của phương trình $2 z^{2} + z + 1 = 0$ . Giá trị của biểu thức $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ là

Gọi z_1,z₂là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 7 = 0$ . Giá tị của $P = z_{1}^{3} + z_{2}^{3}$ bằng

Tất cả các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 5 = 0$ là

Gọi $z_{0}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 6 z + 34 = 0$ . Giá trị của $|z_{0} + 2 - i|$ là