Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng ${90}^o$  (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Tính chu vi của tam giác ECD theo R.

Ta có: $P=-\frac{1}{\sqrt{x}};Q=\sqrt{x}-\sqrt{2}$  với $x>1;x\ne 2;x\ne 3.$

Nên $M=P.Q=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right).\left(-1\right)}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Để $M\ge 0\iff \frac{\sqrt{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ge 0$

Với $x>1$  và $x\ne 2;x\ne 3$  thì $\sqrt{x}>0$

Nên $M\ge 0\iff \frac{\sqrt{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ge 0\iff \sqrt{2}-\sqrt{x}\ge 0$

$\iff \sqrt{x}\le \sqrt{2}\iff 0\le x\le 2$

Kết hợp điều kiện $x>1$  và $x\ne 2;x\ne 3$  ta có $1<x<2$ .

Vậy $1<x<2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

$\left(m+1\right)x+2m=\left(2m+1\right)x+3m\iff x.m=-m$

+) Nếu $m=0$  thì hai đương thẳng trùng nhau.

+) Nếu $m\ne 0$ ta có hoành độ giao điểm là $x=-1$

Với $x=-1$  ta có tung độ giao điểm là $y=\left(m+1\right).\left(-1\right)+2m=m-1$

Để thỏa mãn đề ta cần có tung độ giao điểm bằng 0.

$y=0\iff m-1=0\iff m=1$ (thỏa mãn)

Vậy $m=1$ .