Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 4)

Câu 1

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o} = \tan 15^{o} + 1 - \cot 75^{o} \\ = \tan 15^{o} + 1 - \cot 75^{o} = \tan 15^{o} + 1 - \tan 15^{o} = 1 \end{array}$

Câu 2

Giải phương trình: $\sqrt{25 x + 5} + \sqrt{45} \sqrt{20 x + 4} - \sqrt{\frac{5 x + 1}{16}} = \frac{27 \sqrt{5}}{4} .$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: $x \geq - \frac{1}{5}$

$\begin{array}{l} \sqrt{25 x + 5} + \sqrt{45} \sqrt{20 x + 4} - \sqrt{\frac{5 x + 1}{16}} = \frac{27 \sqrt{5}}{4} \\ \Leftrightarrow \sqrt{5} . \sqrt{5 x + 1} + 6 \sqrt{5} . \sqrt{5 x + 1} - \frac{\sqrt{5 x + 1}}{4} = \frac{27 \sqrt{5}}{4} \\ \Leftrightarrow (7 \sqrt{5} - \frac{1}{4}) \sqrt{5 x + 1} = \frac{27 \sqrt{5}}{4} \end{array} \begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{5 x + 1} = \frac{27 \sqrt{5}}{28 \sqrt{5} - 1} \\ \Leftrightarrow 5 x + 1 = {(\frac{27 \sqrt{5}}{28 \sqrt{5} - 1})}^{2} \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5} [{(\frac{27 \sqrt{5}}{28 \sqrt{5} - 1})}^{2} - 1] (t m) \end{array}$

Vậy $x = \frac{1}{5} [{(\frac{27 \sqrt{5}}{28 \sqrt{5} - 1})}^{2} - 1]$

Câu 3

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: $x > 0; x \neq 2.$

$\begin{array}{l} P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x} \\ = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} (\sqrt{2} - \sqrt{x})} \\ = \frac{2 \sqrt{x} - \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{2} - \sqrt{x})} \\ = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} (2 - \sqrt{x})} = - \frac{1}{\sqrt{x}} \end{array}$

Thay $x = 16 (t m d k)$ vào $P = - \frac{1}{\sqrt{x}}$ ta được:

$P = \frac{- 1}{\sqrt{16}} = - \frac{1}{4}$

Vậy với $x = 16$ thì $P = - \frac{1}{4}$ .

Câu 4

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Chứng minh rằng $Q + \sqrt{2} = \sqrt{x} .$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: $x > 1; x \neq 2; x \neq 3$

$\begin{array}{l} Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}} \\ = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})}{(\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}) (\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})} - \frac{(x - 3) (\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}) (\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})} \\ = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x - 1}}{x - (x - 1)} - \frac{(x - 3) (\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{(x - 1) - 2} \\ = \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} - (\sqrt{x - 1} + \sqrt{2}) \\ = \sqrt{x} - \sqrt{2} \end{array}$

Từ đó $Q + \sqrt{2} = \sqrt{x} - \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{x}$

Vậy $Q + \sqrt{2} = \sqrt{x}$

Câu 5

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tìm x để $P . Q \geq 0$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $P = - \frac{1}{\sqrt{x}}; Q = \sqrt{x} - \sqrt{2}$ với $x > 1; x \neq 2; x \neq 3.$

Nên $M = P . Q = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) . (- 1)}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Để $M \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \geq 0$

Với $x > 1$ và $x \neq 2; x \neq 3$ thì $\sqrt{x} > 0$

Nên $M \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{2} - \sqrt{x} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2$

Kết hợp điều kiện $x > 1$ và $x \neq 2; x \neq 3$ ta có $1 < x < 2$ .

Vậy $1 < x < 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6