Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1

Phương pháp: Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T. Cách giải: Với a>0 ta có hệ thức: 1+1a−1a+12=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−21aa+1=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−2a+2a+1=1+1a2+1a+12 Nên 1+1a2+1a+12=1+1a−1a+1=1+1a−1a+1 Khi đó: T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1=2+1x+1y Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T. Giả sử M>0 là giá trị lớn nhất của T. Khi đó nếu ta chọn 1x=M+1⇔x=1M+1∈0;1;y=2−1M+1>0 . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và x+y=2 . Với bộ x, y vừa chọn ta có T=2+1x+1y>2+M+1 Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Câu hỏi:

03/02/2023 189

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Cách giải:

Với $a > 0$ ta có hệ thức:

$\begin{array}{l} {(1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1})}^{2} = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{a + 1} - 2 \frac{1}{a (a + 1)} \\ = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{a + 1} - \frac{2}{a} + \frac{2}{a + 1} \\ = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \end{array}$

Nên $\sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}} = |1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}| = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$

Khi đó: $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)} = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Giả sử $M > 0$ là giá trị lớn nhất của T.

Khi đó nếu ta chọn $\frac{1}{x} = M + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{M + 1} \in (0; 1); y = 2 - \frac{1}{M + 1} > 0$ . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và $x + y = 2$ .

Với bộ x, y vừa chọn ta có $T = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 2 + M + 1$

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tìm x để $P . Q \geq 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,145

Câu 2:

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,054

Câu 3:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,652

Câu 4:

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Xem đáp án » 13/07/2024 1,298

Câu 5:

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng $90^{o}$ (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Tính chu vi của tam giác ECD theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 677

Câu 6:

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng $90^{o}$ (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Khi tứ giác FCDG là hình thang cân. Hãy tính tỉ số $\frac{A B}{F G} .$

Xem đáp án » 03/02/2023 402

Câu 7:

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.

Xem đáp án » 13/07/2024 317

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án

2 đề 45,247 lượt thi Thi thử
21 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai có đáp án

2 đề 13,089 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,553 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,783 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 10,950 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,377 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,380 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 8,886 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,663 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,520 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1

Nhà sách VIETJACK:

Cho hai biểu thức P=22−x−x+22x−x và Q=1x−x−1−x−3x−1−2 ; với x>1 và x≠2,x≠3 . Tìm x để P.Q≥0

Cho hai hàm số bậc nhất y=m+1x+2m và y=2m+1x+3m Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Rút gọn biểu thức: A=sin15o+cos15ocos15o−cot75o

Cho hai biểu thức P=22−x−x+22x−x và Q=1x−x−1−x−3x−1−2 ; với x>1 và x≠2,x≠3 . Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Cho hai hàm số bậc nhất y=m+1x+2m và y=2m+1x+3m Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)}$

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tìm x để $P . Q \geq 0$

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o}$

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.