Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1

Phương pháp: Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T. Cách giải: Với a>0 ta có hệ thức: 1+1a−1a+12=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−21aa+1=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−2a+2a+1=1+1a2+1a+12 Nên 1+1a2+1a+12=1+1a−1a+1=1+1a−1a+1 Khi đó: T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1=2+1x+1y Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T. Giả sử M>0 là giá trị lớn nhất của T. Khi đó nếu ta chọn 1x=M+1⇔x=1M+1∈0;1;y=2−1M+1>0 . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và x+y=2 . Với bộ x, y vừa chọn ta có T=2+1x+1y>2+M+1 Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Câu hỏi:

03/02/2023 250

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Cách giải:

Với $a > 0$ ta có hệ thức:

$\begin{array}{l} {(1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1})}^{2} = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{a + 1} - 2 \frac{1}{a (a + 1)} \\ = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{a + 1} - \frac{2}{a} + \frac{2}{a + 1} \\ = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \end{array}$

Nên $\sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}} = |1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}| = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$

Khi đó: $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)} = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Giả sử $M > 0$ là giá trị lớn nhất của T.

Khi đó nếu ta chọn $\frac{1}{x} = M + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{M + 1} \in (0; 1); y = 2 - \frac{1}{M + 1} > 0$ . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và $x + y = 2$ .

Với bộ x, y vừa chọn ta có $T = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 2 + M + 1$

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tìm x để $P . Q \geq 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 6,326

Câu 2:

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,482

Câu 3:

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Xem đáp án » 13/07/2024 2,022

Câu 4:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,784

Câu 5:

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng $90^{o}$ (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Tính chu vi của tam giác ECD theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 925

Câu 6:

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.

Xem đáp án » 13/07/2024 696

Câu 7:

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng $90^{o}$ (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Khi tứ giác FCDG là hình thang cân. Hãy tính tỉ số $\frac{A B}{F G} .$

Xem đáp án » 03/02/2023 461

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1

Bình luận

Cho hai biểu thức P=22−x−x+22x−x và Q=1x−x−1−x−3x−1−2 ; với x>1 và x≠2,x≠3 . Tìm x để P.Q≥0

Cho hai hàm số bậc nhất y=m+1x+2m và y=2m+1x+3m Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Cho hai biểu thức P=22−x−x+22x−x và Q=1x−x−1−x−3x−1−2 ; với x>1 và x≠2,x≠3 . Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Rút gọn biểu thức: A=sin15o+cos15ocos15o−cot75o

Cho hai hàm số bậc nhất y=m+1x+2m và y=2m+1x+3m Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)}$

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tìm x để $P . Q \geq 0$

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o}$

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.