Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1

Phương pháp: Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T. Cách giải: Với a>0 ta có hệ thức: 1+1a−1a+12=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−21aa+1=1+1a2+1a+12+2a−2a+1−2a+2a+1=1+1a2+1a+12 Nên 1+1a2+1a+12=1+1a−1a+1=1+1a−1a+1 Khi đó: T=1+1x2+1x+12+1+1y2+1y+12+4x+1y+1=2+1x+1y Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T. Giả sử M>0 là giá trị lớn nhất của T. Khi đó nếu ta chọn 1x=M+1⇔x=1M+1∈0;1;y=2−1M+1>0 . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và x+y=2 . Với bộ x, y vừa chọn ta có T=2+1x+1y>2+M+1 Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Câu hỏi:

03/02/2023 227

Với hai số dương x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Cách giải:

Với $a > 0$ ta có hệ thức:

$\begin{array}{l} {(1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1})}^{2} = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{a + 1} - 2 \frac{1}{a (a + 1)} \\ = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{a + 1} - \frac{2}{a} + \frac{2}{a + 1} \\ = 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \end{array}$

Nên $\sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}} = |1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}| = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$

Khi đó: $T = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}} + \frac{4}{(x + 1) (y + 1)} = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Giả sử $M > 0$ là giá trị lớn nhất của T.

Khi đó nếu ta chọn $\frac{1}{x} = M + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{M + 1} \in (0; 1); y = 2 - \frac{1}{M + 1} > 0$ . Khi đó ta có x, y vừa chọn thỏa mãn là các số dương và $x + y = 2$ .

Với bộ x, y vừa chọn ta có $T = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 2 + M + 1$

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của T.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tìm x để $P . Q \geq 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,174

Câu 2:

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị đã cho nằm trên trục hoành.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,321

Câu 3:

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2 x} - x}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$ ; với $x > 1$ và $x \neq 2, x \neq 3$ .

Tính giá trị của biểu thức P khi x=16

Xem đáp án » 13/07/2024 1,763

Câu 4:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sin 15^{o} + \cos 15^{o}}{\cos 15^{o}} - \cot 75^{o}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,741

Câu 5:

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng $90^{o}$ (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Tính chu vi của tam giác ECD theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 836

Câu 6:

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng $90^{o}$ (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C, D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F, G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.

Khi tứ giác FCDG là hình thang cân. Hãy tính tỉ số $\frac{A B}{F G} .$

Xem đáp án » 03/02/2023 436

Câu 7:

Cho hai hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2 m$ và $y = (2 m + 1) x + 3 m$

Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.

Xem đáp án » 13/07/2024 382

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP