Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 1)

Câu 1

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 4$

Chứng minh $A = \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp:

a) Quy đồng, khử mẫu và rút gọn A.

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4$

$A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} = (\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} = \frac{- 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} = \frac{- 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \cdot \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}} = \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2}$

Câu 2

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 4$

Tìm x biết $A = \frac{- 2}{3}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải phương trình $A = - \frac{2}{3}$ , sử dụng kết quả rút gọn câu a).

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4$

$A = \frac{- 2}{3} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{- 2}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = 6 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4$

$\Leftrightarrow x = 16$ (tmđk).

Vậy $x = 16$ .

Câu 3

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 4$

Cho x là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Xem đáp án

Lời giải

Dựa vào điều kiện bài cho và $x \in ℤ$ suy ra điều kiện chính xác của x, từ đó đánh giá A

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4$

Ta có x nguyên và $x > 0, x \neq 4$ thì $x \geq 1, x \neq 4, x \in ℤ$ .

Ta có: $x \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 3 > 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2} \geq \frac{- 4}{3} \Leftrightarrow P \geq \frac{- 4}{3}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{- 4}{3}$ khi $x = 1$ .

Câu 4

Cho hàm số $y = (m + 1) x + 3 (d)$ (m là tham số, $m \neq - 1$ )

Tìm m để hàm số trên là hàm số đồng biến.

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số

y = a x + b

đồng biến trên

ℝ

nếu

a > 0

Hàm số đã cho đồng biến khi $m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Câu 5

Cho hàm số $y = (m + 1) x + 3 (d)$ (m là tham số, $m \neq - 1$ )

Khi m=2, hãy vẽ đồ thị hàm số đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Tìm điểm đi qua bằng cách cho lần lượt $x = 0, y = 0,$ kẻ đường thằng đi qua hai điểm đã cho ta được đồ thị. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Khi $m = 2$ hàm số có dạng $y = 3 x + 3$

* Cho $x = 0$ thì $y = 3$

Cho $y = 0$ thì $x = - 1$

Đường thằng đi qua hai điểm $(0; 3)$ và $(- 1; 0)$ là đồ thị hàm số $y = 3 x + 3$

* Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Goi $A (0; 3)$ và $B (- 1; 0)$ nên $O A = 3, O B = 1$ .

Kẻ OH vuông góc với d tại H.

Xét tam giác OAB vuông tai O, đường cao OH

Có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{1^{2}} \Rightarrow O H^{2} = \frac{9}{10} \Rightarrow O H = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Câu 6