P xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq 0 \\ \sqrt{a} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{a} + 2 \neq 0 \\ 4 a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ \sqrt{a} \neq 2 \\ \sqrt{a} \neq - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ a \neq 2^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ a \neq 4 \end{cases}$ .

Vậy $a > 0; a \neq 4$ thì biểu thức P xác định.

Câu 2

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}}$ .

Rút gọn P.

Xem đáp án

Lời giải

ĐKXĐ: $a > 0; a \neq 4$ .

$\begin{array}{l} P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}} \\ = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + 2) + \sqrt{a} (\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} - 2)} . \frac{(\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} - 2)}{\sqrt{2^{2} . a}} \\ = \frac{a + 2 \sqrt{a} + a - 2 \sqrt{a}}{2 \sqrt{a}} \\ = \frac{2 a}{2 \sqrt{a}} = \sqrt{a} \end{array}$

Vậy $P = \sqrt{a}$ với $a > 0; a \neq 4$ .

Câu 3

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}}$ .

Tìm a để $P < 3$ .

Xem đáp án

Lời giải

ĐKXĐ: $a > 0; a \neq 4$ .

$P < 3 \Leftrightarrow \sqrt{a} < 3 \Leftrightarrow a < 3^{2} \Leftrightarrow a < 9$

Kết hợp với điều kiện xác định $\Rightarrow 0 < a < 9; a \neq 4$ .

Vậy $0 < a < 9; a \neq 4$ thì $P < 3$ .

Câu 4

Chứng minh: Giá trị của biểu thức $A = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (4 - \sqrt{15}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$ là một số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức $\sqrt{A^{2}} = [\begin{array}{l} A k h i A \geq 0 \\ - A k h i A < 0 \end{array}$ để biến đổi và rút gọn A.

Cách giải

$\begin{array}{l} A = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (4 - \sqrt{15}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}}} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) (4 - \sqrt{15})} (d o \sqrt{3} - 1 > 0) \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(3 - 1) (4 - \sqrt{15})} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{2 (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{5 - 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 3} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) (d o \sqrt{5} - \sqrt{3} > 0) \\ = 5 - 3 = 2 \end{array}$

Vậy $A = 2$ là một số nguyên.

Câu 5

Vẽ đồ thị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: $(d_{1}) : y = 2 x - 3$ và $(d_{2}) : y = - \frac{1}{2} x + 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

+ Vẽ đồ thị hàm số $(d_{1}) : y = 2 x - 3$ .

Bảng giá trị:

Media VietJack

Vậy đồ thị hàm số $(d_{1})$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(1; - 1); (3; 3)$ .

+ Vẽ đồ thị hàm số $(d_{2}) : y = - \frac{1}{2} x + 2$ .

Bảng giá trị:

Media VietJack

Vậy đồ thị hàm số $(d_{2})$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; 2); (4; 0)$

Câu 6