Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM tia CO cắt d tại D.

a ) CMR OBNC nội tiếp.

b ) CMR NO vuông góc với AD.

c ) CMR CA . CN = CO . CD

d ) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt GTNN.

Câu a) Ta có: \[{\rm{\Delta OMA}}\] cân tại O và AC = MC nên \[OC \bot AM\;\] hay \[\widehat {OCN} = {90^0}\].

Xét tứ giác OBNC ta có :

\[\widehat {OCN} = {90^0}\] ( cmt )

\[\widehat {OBN} = {90^0}\] ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính )

\[ \Rightarrow \widehat {OCN} + \widehat {OBN} = {180^0}\]hay OBNC là tứ giác nội tiếp (đpcm )

Câu b ) Xét tam giác AND ta có :

AB là đường cao xuất phát từ đỉnh A.

DC là đường cao xuất phát từ đỉnh D.

Mà hai đường cao này cắt nhau tại O cho nên O là trực tâm của \[\Delta AND\]

NO cắt AD suy ra NO là đường cao của tam giác AND \[ \Rightarrow NO \bot AD\]

Câu c ) Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {CAO} + \widehat {ANB} = {{90}^0}}\\{\widehat {CDN} + \widehat {ANB} = {{90}^0}}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {CAO} = \widehat {CDN}\)

Xét tam giác CAO và tam giác CDN ta có :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {ACO} = \widehat {DCN}\left( { = {{90}^0}} \right)}\\{\widehat {CAO} = \widehat {CDB}\left( {cmt} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta CAO \sim \Delta CDN\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{CO}}{{CN}} \Rightarrow CA.CN = CO.CD\)( đpcm )

Câu d ) Xét tam giác AMB và tam giác ABN ta có :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {BAM}:\,chung}\\{\widehat {AMB} = \widehat {ABN}\left( { = {{90}^0}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta AMB \sim \Delta ABN\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AN}} \Rightarrow AM.AN = A{B^2} = 4{R^2}\)

Áp dụng BĐT cô – si ta có: \(2AM + AN \ge 2\sqrt {2AM.AN} = 2\sqrt {8{R^2}} = 4R\sqrt 2 \)

Vậy GTNN của 2AM + AN là \(4R\sqrt 2 \)khi và chỉ khi M là trung điểm của AN