Câu hỏi:

19/08/2025 875

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, O là trung điểm của CD, $A D = 4 a, S A = S B = S O = 2 a .$ Tính khoảng cách giữa SA và CD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính (ảnh 1)

Gọi I, N là trung điểm của AD, AB. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO, vì tam giác ABI đều nên H thuộc NI.

Kẻ HK vuông góc CD, dựng hình bình hành AECD. Gọi F là giao điểm của BO và AE.

Ta có: $A F // C D,$ nên $d (S A, C D) = d (C D, (S A F)) = d (O, (S A F)) .$

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, nên tam giác BIC và CID là các tam giác đều, do đó ta có:

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{{(4 a)}^{2} - {(2 a)}^{2}} = 2 a \sqrt{3} \\ C O = \frac{1}{2} C D = a \\ A O = \sqrt{A C^{2} + C O^{2}} = \sqrt{12 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{13} \\ B O = \sqrt{B C^{2} + C O^{2} - 2 B C . C O . {cos120}^{0}} = \sqrt{4 a^{2} + a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{7} \\ S_{Δ A B O} = \frac{(2 a + 4 a) . a \sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} .2 a . \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} .4 a . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{2} . \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} A H = \frac{2 a . a \sqrt{7} . a \sqrt{13}}{4. \frac{3 a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a \sqrt{273}}{9} . \\ S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{273 a^{2}}{81}} = \frac{a \sqrt{51}}{9} . \end{array}$

Diện tích $S_{Δ A F O} = 2 S_{Δ A B O} = 3 a^{2} \sqrt{3} .$

Thể tích của khối chóp S. AFO là: $V_{S . A F O} = \frac{1}{3} S H . S_{A F O} = \frac{a^{3} \sqrt{153}}{9} .$

Diện tích tam giác SAF:

$S A = 2 a, A F = 3 a \Rightarrow S B^{2} = \frac{S O^{2} + S F^{2}}{2} - \frac{F O^{2}}{4} \Rightarrow S F = 3 a \sqrt{2} \Rightarrow S_{Δ S A F} = \frac{a^{2} \sqrt{119}}{4} .$

Vậy $d (S A, C D) = d (C D, (S A F)) = d (O, (S A F)) = \frac{3 V_{O . S A F}}{S_{Δ S A F}} = \frac{3 \frac{a^{3} \sqrt{153}}{9}}{\frac{a^{2} \sqrt{119}}{4}} = \frac{2 a}{\sqrt{7}} .$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết $\hat{B A D} = 60^{0}, \hat{A^{'} A B} = \hat{A^{'} A D} = 120^{0} .$ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết góc BAD= 60 độ, góc AA'B=A'AD=120 độ (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có các tam giác ABD, $A^{'} A D, A^{'} A B$ là các tam giác đều.

Suy ra ta có: $A^{'} A = A^{'} B = A^{'} D$ nên H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD.

Do đó: $A H = \frac{2}{3} .2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} a$

$\Rightarrow A^{'} H = \sqrt{A^{'} A^{2} - A H^{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a .$

Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' là: $V = A^{'} H . S_{A B C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a .2. \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{2} a^{3} .$

Câu 2

Một hình chóp 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Xem đáp án

Lời giải

Hình chóp $S . A_{1} A_{2} ... A_{n} (n \geq 3)$ có n cạnh bên và n cạnh đáy nên sẽ có 2n cạnh.

Khi đó ta có: $2 n = 16 \Leftrightarrow n = 8.$

Vậy hình chóp 16 cạnh sẽ có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên tổng số là 9 mặt.

Câu 3

Số cách chia 12 phần quà giống nhau cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong hình học không gian:

A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.

B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.

C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và là điểm đối xứng của S qua O. Tính thể tích của khối chóp S.MNPQ

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=3, AC=2; ABC là tam giác vuông cân tại B. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, O là trung điểm của CD, $A D = 4 a, S A = S B = S O = 2 a .$ Tính khoảng cách giữa SA và CD.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết $\hat{B A D} = 60^{0}, \hat{A^{'} A B} = \hat{A^{'} A D} = 120^{0} .$ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'