Từ giả thiết ta có các tam giác ABD, $A^{\text{'}}AD,A^{\text{'}}AB$ là các tam giác đều.

Suy ra ta có: $A^{\text{'}}A=A^{\text{'}}B=A^{\text{'}}D$ nên H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD.

Do đó: $AH=\frac{2}{3}.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}a$

$\Rightarrow A^{\text{'}}H=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2-A{H}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a.$

Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' là: $V=A^{\text{'}}H.S_{ABCD}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a\mathrm{.2.}\frac{4a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{2}{a}^3.$

+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà.

+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà: Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít nhất một phần quà, có $C_8^2$

+ Vậy tất cả có số cách chia là: $C_8^2=28$ (cách chia).