Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC=3, BAC^=300. Tính diện tích tam giác ABC

Xét bài toán: Tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: b2+c2=5a2. Ta có: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức trung tuyến ta có: GB2=49BM2=19(2a2+2c2−b2); GC2=49CN2=19(2a2+2b2−c2) Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông BGC, ta có: BG2+CG2=BC2 Khi đó ta có: 19(2a2+2c2−b2)+19(2a2+2b2−c2)=a2⇔4a2+b2+c2=9a2⇔b2+c2=5a2. Quay trở lại bài toán trên, xét tam giác ABC ta có: a2=b2+c2−2bc.cosA=5a2−2bc.cosA⇒bc=2a2cosA. Khi đó: S=12bc.sinA=122a2cosA.sinA=a2tanA=33.

Câu hỏi:

19/08/2025 655

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có $B C = 3, \hat{B A C} = 30^{0} .$ Tính diện tích tam giác ABC

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét bài toán: Tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: $b^{2} + c^{2} = 5 a^{2} .$

Ta có: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có (ảnh 1)

$G B^{2} = \frac{4}{9} B M^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}); G C^{2} = \frac{4}{9} C N^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2})$

Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông BGC, ta có: $B G^{2} + C G^{2} = B C^{2}$

Khi đó ta có: $\frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) + \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}) = a^{2} \Leftrightarrow 4 a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 a^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = 5 a^{2} .$

Quay trở lại bài toán trên, xét tam giác ABC ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A = 5 a^{2} - 2 b c . \cos A \Rightarrow b c = \frac{2 a^{2}}{\cos A} .$

Khi đó: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} \frac{2 a^{2}}{\cos A} . \sin A = a^{2} \tan A = 3 \sqrt{3} .$

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết $\hat{B A D} = 60^{0}, \hat{A^{'} A B} = \hat{A^{'} A D} = 120^{0} .$ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết góc BAD= 60 độ, góc AA'B=A'AD=120 độ (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có các tam giác ABD, $A^{'} A D, A^{'} A B$ là các tam giác đều.

Suy ra ta có: $A^{'} A = A^{'} B = A^{'} D$ nên H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD.

Do đó: $A H = \frac{2}{3} .2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} a$

$\Rightarrow A^{'} H = \sqrt{A^{'} A^{2} - A H^{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a .$

Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' là: $V = A^{'} H . S_{A B C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a .2. \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{2} a^{3} .$

Câu 2

Một hình chóp 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Xem đáp án

Lời giải

Hình chóp $S . A_{1} A_{2} ... A_{n} (n \geq 3)$ có n cạnh bên và n cạnh đáy nên sẽ có 2n cạnh.

Khi đó ta có: $2 n = 16 \Leftrightarrow n = 8.$

Vậy hình chóp 16 cạnh sẽ có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên tổng số là 9 mặt.

Câu 3

Số cách chia 12 phần quà giống nhau cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong hình học không gian:

A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.

B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.

C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và là điểm đối xứng của S qua O. Tính thể tích của khối chóp S.MNPQ

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=3, AC=2; ABC là tam giác vuông cân tại B. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử