Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC=3, BAC^=300. Tính diện tích tam giác ABC

Xét bài toán: Tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: b2+c2=5a2. Ta có: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức trung tuyến ta có: GB2=49BM2=19(2a2+2c2−b2); GC2=49CN2=19(2a2+2b2−c2) Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông BGC, ta có: BG2+CG2=BC2 Khi đó ta có: 19(2a2+2c2−b2)+19(2a2+2b2−c2)=a2⇔4a2+b2+c2=9a2⇔b2+c2=5a2. Quay trở lại bài toán trên, xét tam giác ABC ta có: a2=b2+c2−2bc.cosA=5a2−2bc.cosA⇒bc=2a2cosA. Khi đó: S=12bc.sinA=122a2cosA.sinA=a2tanA=33.

Câu hỏi:

27/02/2023 504

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có $B C = 3, \hat{B A C} = 30^{0} .$ Tính diện tích tam giác ABC

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét bài toán: Tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: $b^{2} + c^{2} = 5 a^{2} .$

Ta có: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có (ảnh 1)

$G B^{2} = \frac{4}{9} B M^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}); G C^{2} = \frac{4}{9} C N^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2})$

Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông BGC, ta có: $B G^{2} + C G^{2} = B C^{2}$

Khi đó ta có: $\frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) + \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}) = a^{2} \Leftrightarrow 4 a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 a^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = 5 a^{2} .$

Quay trở lại bài toán trên, xét tam giác ABC ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A = 5 a^{2} - 2 b c . \cos A \Rightarrow b c = \frac{2 a^{2}}{\cos A} .$

Khi đó: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} \frac{2 a^{2}}{\cos A} . \sin A = a^{2} \tan A = 3 \sqrt{3} .$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết $\hat{B A D} = 60^{0}, \hat{A^{'} A B} = \hat{A^{'} A D} = 120^{0} .$ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Xem đáp án » 27/02/2023 18,542

Câu 2:

Một hình chóp 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Xem đáp án » 27/02/2023 9,243

Câu 3:

Số cách chia 12 phần quà giống nhau cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà.

Xem đáp án » 27/02/2023 8,322

Câu 4:

Trong hình học không gian:

A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.

B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.

C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

Xem đáp án » 27/02/2023 4,404

Câu 5:

Tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Xem đáp án » 27/02/2023 3,271

Câu 6:

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và là điểm đối xứng của S qua O. Tính thể tích của khối chóp S.MNPQ

Xem đáp án » 12/07/2024 2,384

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=3, AC=2; ABC là tam giác vuông cân tại B. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án » 27/02/2023 1,809

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP