Cho tam giác ABC không có góc tù và: cos2A+22cosB+22cosC=3. Tính góc A.

Ta có: cos2A+22cosB+22cosC=3 ⇔2cos2A−1+22.2.cosB+C2.cosB−C2−3=0v ⇔2cos2A+42.cosB+C2.cosB−C2−4=0(1) Ta thấy: sinA2>0; cosB−C2≤1 ⇒VT≤2cos2A+42.sinA2−4 Vì ∆ABC không tù nên 0 £ cos A < 1 ⇒cos2A≤cosA ⇒VT≤2cosA+42.sinA2−4 ⇒VT≤21−2.sin2A2+42.sinA2−4 ⇒VT≤−4.sin2A2+42.sinA2−2 ⇒VT≤−2.2.sinA2−12≤0(2) Từ (1) và (2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu “=” ở trên xảy ra ⇔cosB−C2=1cos2A=cosA2.sinA2−1=0 Với 2.sinA2−1=0⇔sinA2=12 ⇒A^2=45°⇔A^=90°.

Câu hỏi:

11/07/2024 247

Cho tam giác ABC không có góc tù và: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3.$ Tính góc A.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} A - 1 + 2 \sqrt{2} .2. \cos (\frac{B + C}{2}) . \cos (\frac{B - C}{2}) - 3 = 0 v$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} A + 4 \sqrt{2} . \cos (\frac{B + C}{2}) . \cos (\frac{B - C}{2}) - 4 = 0$ (1)

Ta thấy: $\sin (\frac{A}{2}) > 0; \cos (\frac{B - C}{2}) \leq 1$

$\Rightarrow V T \leq 2 \cos^{2} A + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 4$

Vì ∆ABC không tù nên 0 £ cos A < 1

$\Rightarrow \cos^{2} A \leq \cos A$

$\Rightarrow V T \leq 2 \cos A + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 4$

$\Rightarrow V T \leq 2 (1 - 2. \sin^{2} (\frac{A}{2})) + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 4$

$\Rightarrow V T \leq - 4. \sin^{2} (\frac{A}{2}) + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 2$

$\Rightarrow V T \leq - 2. {(\sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 1)}^{2} \leq 0$ (2)

Từ (1) và (2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu “=” ở trên xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos (\frac{B - C}{2}) = 1 \\ \cos^{2} A = \cos A \\ \sqrt{2} . \sin \frac{A}{2} - 1 = 0 \end{cases}$

Với $\sqrt{2} . \sin \frac{A}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \frac{\hat{A}}{2} = 45 ° \Leftrightarrow \hat{A} = 90 °$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: C = 118 ± 2 (cm). Sai số tỉ đối phép đo đó bằng

A. 2%;

B. 1,7%;

C. 5,9%;

D. 1,2%.

Xem đáp án » 17/04/2023 38,214

Câu 2:

Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a = h_b + h_c thì:

\frac{2}{\sin A} = \frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\sin C}

;

B. 2sin A = sin B + sin C;

C. sin A = 2sin B + 2sin C;

\frac{2}{\sin A} = \frac{1}{\sin B} - \frac{1}{\sin C}

Xem đáp án » 17/04/2023 16,644

Câu 3:

Cho tam giác ABC có $B C = \sqrt{6}$ , AC = 2 và $A B = \sqrt{3} + 1$ . Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 13/07/2024 16,095

Câu 4:

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm A (1; −4), B (4; 5) và C (0; −9). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt $Q = 2 |\vec{M A} + 2 \vec{M B}| + 3 |\vec{M B} + \vec{M C}|$ . Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng $a \sqrt{b}$ , trong đó a,b là các số nguyên dương a, b < 20. Tính a – b.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,126

Câu 5:

Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Xem đáp án » 13/07/2024 5,609

Câu 6:

Cho hình chữ nhật ABCD vẽ tam giá AEC vuông tại E. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,612

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua C vuông góc với BD cắt Ab ở F. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,089

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC không có góc tù và: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3.$ Tính góc A.

Nhà sách VIETJACK:

Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: C = 118 ± 2 (cm). Sai số tỉ đối phép đo đó bằng

Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a = h_b + h_c thì:

Cho tam giác ABC có $B C = \sqrt{6}$ , AC = 2 và $A B = \sqrt{3} + 1$ . Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Cho hình chữ nhật ABCD vẽ tam giá AEC vuông tại E. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua C vuông góc với BD cắt Ab ở F. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho tam giác ABC không có góc tù và: cos2A+22cosB+22cosC=3. Tính góc A.

Nhà sách VIETJACK:

Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: C = 118 ± 2 (cm). Sai số tỉ đối phép đo đó bằng

Trong tam giác ABC, nếu có 2ha​ = hb ​+ hc​ thì:

Cho tam giác ABC có BC=6 , AC = 2 và AB=3+1. Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm A (1; −4), B (4; 5) và C (0; −9). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt Q=2MA→+2MB→+3MB→+MC→ . Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng ab , trong đó a,b là các số nguyên dương a, b < 20. Tính a – b.

Tìm m để y = 2x3 − mx2 + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Cho hình chữ nhật ABCD vẽ tam giá AEC vuông tại E. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua C vuông góc với BD cắt Ab ở F. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC không có góc tù và: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3.$ Tính góc A.

Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a = h_b + h_c thì:

Cho tam giác ABC có $B C = \sqrt{6}$ , AC = 2 và $A B = \sqrt{3} + 1$ . Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).