Cho tam giác ABC không có góc tù và: cos2A+22cosB+22cosC=3. Tính góc A.

Ta có: cos2A+22cosB+22cosC=3 ⇔2cos2A−1+22.2.cosB+C2.cosB−C2−3=0v ⇔2cos2A+42.cosB+C2.cosB−C2−4=0(1) Ta thấy: sinA2>0; cosB−C2≤1 ⇒VT≤2cos2A+42.sinA2−4 Vì ∆ABC không tù nên 0 £ cos A < 1 ⇒cos2A≤cosA ⇒VT≤2cosA+42.sinA2−4 ⇒VT≤21−2.sin2A2+42.sinA2−4 ⇒VT≤−4.sin2A2+42.sinA2−2 ⇒VT≤−2.2.sinA2−12≤0(2) Từ (1) và (2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu “=” ở trên xảy ra ⇔cosB−C2=1cos2A=cosA2.sinA2−1=0 Với 2.sinA2−1=0⇔sinA2=12 ⇒A^2=45°⇔A^=90°.

Câu hỏi:

11/07/2024 325

Cho tam giác ABC không có góc tù và: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3.$ Tính góc A.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} A - 1 + 2 \sqrt{2} .2. \cos (\frac{B + C}{2}) . \cos (\frac{B - C}{2}) - 3 = 0 v$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} A + 4 \sqrt{2} . \cos (\frac{B + C}{2}) . \cos (\frac{B - C}{2}) - 4 = 0$ (1)

Ta thấy: $\sin (\frac{A}{2}) > 0; \cos (\frac{B - C}{2}) \leq 1$

$\Rightarrow V T \leq 2 \cos^{2} A + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 4$

Vì ∆ABC không tù nên 0 £ cos A < 1

$\Rightarrow \cos^{2} A \leq \cos A$

$\Rightarrow V T \leq 2 \cos A + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 4$

$\Rightarrow V T \leq 2 (1 - 2. \sin^{2} (\frac{A}{2})) + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 4$

$\Rightarrow V T \leq - 4. \sin^{2} (\frac{A}{2}) + 4 \sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 2$

$\Rightarrow V T \leq - 2. {(\sqrt{2} . \sin (\frac{A}{2}) - 1)}^{2} \leq 0$ (2)

Từ (1) và (2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu “=” ở trên xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos (\frac{B - C}{2}) = 1 \\ \cos^{2} A = \cos A \\ \sqrt{2} . \sin \frac{A}{2} - 1 = 0 \end{cases}$

Với $\sqrt{2} . \sin \frac{A}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \frac{\hat{A}}{2} = 45 ° \Leftrightarrow \hat{A} = 90 °$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: C = 118 ± 2 (cm). Sai số tỉ đối phép đo đó bằng

A. 2%;

B. 1,7%;

C. 5,9%;

D. 1,2%.

Lời giải

Sai số tỉ đối của phép đo đó là: $ε = \frac{2}{118} .100 % = 1, 67 %$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 2

Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a = h_b + h_c thì:

\frac{2}{\sin A} = \frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\sin C}

;

B. 2sin A = sin B + sin C;

C. sin A = 2sin B + 2sin C;

\frac{2}{\sin A} = \frac{1}{\sin B} - \frac{1}{\sin C}

Lời giải

2h_a = h_b + h_c

$\Leftrightarrow \frac{4. S_{A B C}}{a} = \frac{2. S_{A B C}}{b} + \frac{2. S_{A B C}}{c}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\sin C} = \frac{2 R}{b} + \frac{2 R}{c} = 2 R (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 2 R . \frac{2}{a} = \frac{2}{\sin A}$

Vậy $\frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\sin C} = \frac{2}{\sin A}$

Vậy nếu có 2h_a = h_b + h_c thì: $\frac{2}{\sin A} = \frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\sin C}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 3

Cho tam giác ABC có $B C = \sqrt{6}$ , AC = 2 và $A B = \sqrt{3} + 1$ . Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho ba điểm A (1; 1); B (2; 0); C (3; 4). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B, C.

A. 4x – y – 3 = 0; 2x – 3y + 1 = 0;

B. 4x – y – 3 = 0; 2x + 3y + 1 = 0

C. 4x + y – 3 = 0; 2x – 3y + 1 = 0;

D. x – y = 0; 2x – 3y + 1 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm A (1; −4), B (4; 5) và C (0; −9). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt $Q = 2 |\vec{M A} + 2 \vec{M B}| + 3 |\vec{M B} + \vec{M C}|$ . Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng $a \sqrt{b}$ , trong đó a,b là các số nguyên dương a, b < 20. Tính a – b.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho phương trình x² + mx − 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn |x₁| + |x₂| = 4.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC không có góc tù và: cos2A+22cosB+22cosC=3. Tính góc A.

Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: C = 118 ± 2 (cm). Sai số tỉ đối phép đo đó bằng

Trong tam giác ABC, nếu có 2ha​ = hb ​+ hc​ thì:

Cho tam giác ABC có BC=6 , AC = 2 và AB=3+1. Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Cho ba điểm A (1; 1); B (2; 0); C (3; 4). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B, C.

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm A (1; −4), B (4; 5) và C (0; −9). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt Q=2MA→+2MB→+3MB→+MC→ . Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng ab , trong đó a,b là các số nguyên dương a, b < 20. Tính a – b.

Tìm m để y = 2x3 − mx2 + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Cho phương trình x2 + mx − 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn |x1| + |x2| = 4.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC không có góc tù và: $\cos 2 A + 2 \sqrt{2} \cos B + 2 \sqrt{2} \cos C = 3.$ Tính góc A.

Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a = h_b + h_c thì:

Cho tam giác ABC có $B C = \sqrt{6}$ , AC = 2 và $A B = \sqrt{3} + 1$ . Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Cho phương trình x² + mx − 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn |x₁| + |x₂| = 4.