Cho hình bình hành ABCD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh 3 đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.

c. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M, N. Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành.

a. Vì ABCD là hình bình hành

Mà $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AB = DC}\\{BE = \frac{1}{2}AB}\\{DF = \frac{1}{2}DC}\end{array}} \right\} \Rightarrow EB = DF$

Mà EB // DF ⇒ DEBF là hình bình hành

b. ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

⇒ AC, BD, EF đồng quy

c. Ta có: ME // FN (Vì DE // BF) (1)

Xét ∆MDC có: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{EN = DM}\\{CF = DF}\end{array}} \right\} \Rightarrow MN = NC$

Xét ∆ABN có: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AE = BE}\\{ME//BN}\end{array}} \right\} \Rightarrow MN = AM$

Xét ∆AME và ∆CNF có: AM = NC, AE = CF, $\widehat {MAE} = \widehat {NCF}(AB//DC)$

⇒ ∆AME = ∆CNF (c.g.c) ⇒ ME = NF (2)

Từ (1), (2) ⇒ MENF là hình bình hành.