Câu hỏi:
13/07/2024 14,098
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) ∆BCF nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC.
Suy ra \(\widehat {BFC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC.
Khi đó \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AFH} = 90^\circ \).
Vì vậy ba điểm A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH (1)
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AEH} = 90^\circ \).
Suy ra ba điểm A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH (2)
Từ (1), (2), ta được tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b) Ta có \(\widehat {FIE} = 2\widehat {FAE} = 2.60^\circ = 120^\circ \) (góc nội tiếp bằng một nửa số đo của của bị chắn).
Suy ra .
Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF (giả thiết).
Suy ra I là trung điểm AH.
Do đó \(IA = IH = \frac{{AH}}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) là:
\(S = \frac{{\pi .I{A^2}.n^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{\pi {{.2}^2}.120^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{4\pi }}{3}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy sđ và diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) bằng \(\frac{{4\pi }}{3}\,\,c{m^2}\).
c) ∆ABC có hai đường cao CF và BE cắt nhau tại H.
Suy ra H là trực tâm của ∆ABC.
Mà AH cắt BC tại D.
Do đó AD ⊥ BC.
Suy ra \(\widehat {HDB} = 90^\circ \).
Khi đó ba điểm B, D, H cùng thuộc đường tròn đường kính BH (3)
Lại có \(\widehat {BFH} = 90^\circ \) (chứng minh trên).
Suy ra ba điểm B, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính BH (4)
Từ (3), (4), suy ra tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính BH.
Do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (cùng chắn ) (*)
Ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat {EFH} = \widehat {EAH}\) (cùng chắn ) (**)
Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)) (***)
Từ (*), (**), (***), suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {EFH}\).
Vậy FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (chứng minh trên).
Suy ra IE = IH.
Do đó ∆IEH cân tại I.
Vì vậy \(\widehat {IEH} = \widehat {IHE}\) (5)
Lại có \(\widehat {BHD} = \widehat {IHE}\) (cặp góc đối đỉnh) (6)
Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {ECO}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) (7)
Ta có tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC (giả thiết).
Suy ra OE = OC.
Do đó ∆OEC cân tại O.
Vì vậy \(\widehat {ECO} = \widehat {OEC}\) (8)
Từ (5), (6), (7), (8), suy ra \(\widehat {IEH} = \widehat {OEC}\).
Mà \(\widehat {OEH} + \widehat {OEC} = 90^\circ \) (do BE ⊥ AC).
Suy ra \(\widehat {OEH} + \widehat {IEH} = 90^\circ \).
Do đó \(\widehat {IEO} = 90^\circ \).
Vì vậy OE ⊥ EI.
Suy ra IE là tiếp tuyến của (O).
Chứng minh tương tự, ta được IF là tiếp tuyến của (O).
Mà I ∈ AH.
Vậy 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại điểm I.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
– Lấy nước đổ vào đầy cái cốc loại 250 ml, sau đó đổ hết vào cái cốc loại 400 ml.
– Tiếp tục lấy nước đổ vào đầy cái cốc loại 250 ml, sau đó đổ vào cái cốc loại 400 ml cho đến khi cái cốc loại 400 ml chứa đầy nước.
– Khi đó trong cái cốc loại 250 ml còn lại 100 ml nước.
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Để X ∩ Y ≠ ∅ thì a < 3.
So với điều kiện a ≤ 4, ta nhận a < 3.
Vậy a < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận