Câu hỏi:

13/07/2024 14,098

Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.

c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).

d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) ∆BCF nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC.

Suy ra \(\widehat {BFC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC.

Khi đó \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AFH} = 90^\circ \).

Vì vậy ba điểm A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AEH} = 90^\circ \).

Suy ra ba điểm A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) Ta có \(\widehat {FIE} = 2\widehat {FAE} = 2.60^\circ = 120^\circ \) (góc nội tiếp bằng một nửa số đo của của bị chắn).

Suy ra .

Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF (giả thiết).

Suy ra I là trung điểm AH.

Do đó \(IA = IH = \frac{{AH}}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\,\left( {cm} \right)\).

Diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) là:

\(S = \frac{{\pi .I{A^2}.n^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{\pi {{.2}^2}.120^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{4\pi }}{3}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy sđ và diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) bằng \(\frac{{4\pi }}{3}\,\,c{m^2}\).

c) ∆ABC có hai đường cao CF và BE cắt nhau tại H.

Suy ra H là trực tâm của ∆ABC.

Mà AH cắt BC tại D.

Do đó AD BC.

Suy ra \(\widehat {HDB} = 90^\circ \).

Khi đó ba điểm B, D, H cùng thuộc đường tròn đường kính BH (3)

Lại có \(\widehat {BFH} = 90^\circ \) (chứng minh trên).

Suy ra ba điểm B, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính BH   (4)

Từ (3), (4), suy ra tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính BH.

Do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (cùng chắn )   (*)

Ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (chứng minh trên).

Suy ra \(\widehat {EFH} = \widehat {EAH}\) (cùng chắn )   (**)

Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\))    (***)

Từ (*), (**), (***), suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {EFH}\).

Vậy FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).

d) Ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (chứng minh trên).

Suy ra IE = IH.

Do đó ∆IEH cân tại I.

Vì vậy \(\widehat {IEH} = \widehat {IHE}\)    (5)

Lại có \(\widehat {BHD} = \widehat {IHE}\) (cặp góc đối đỉnh)    (6)

\(\widehat {BHD} = \widehat {ECO}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC}\))    (7)

Ta có tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC (giả thiết).

Suy ra OE = OC.

Do đó ∆OEC cân tại O.

Vì vậy \(\widehat {ECO} = \widehat {OEC}\)   (8)

Từ (5), (6), (7), (8), suy ra \(\widehat {IEH} = \widehat {OEC}\).

\(\widehat {OEH} + \widehat {OEC} = 90^\circ \) (do BE AC).

Suy ra \(\widehat {OEH} + \widehat {IEH} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {IEO} = 90^\circ \).

Vì vậy OE EI.

Suy ra IE là tiếp tuyến của (O).

Chứng minh tương tự, ta được IF là tiếp tuyến của (O).

Mà I AH.

Vậy 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại điểm I.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

– Lấy nước đổ vào đầy cái cốc loại 250 ml, sau đó đổ hết vào cái cốc loại 400 ml.

– Tiếp tục lấy nước đổ vào đầy cái cốc loại 250 ml, sau đó đổ vào cái cốc loại 400 ml cho đến khi cái cốc loại 400 ml chứa đầy nước.

– Khi đó trong cái cốc loại 250 ml còn lại 100 ml nước.

Câu 2

Cho hai tập hợp X = (0; 3] và Y = (a; 4). Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ .

Lời giải

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Media VietJack

Để X ∩ Y ≠ thì a < 3.

So với điều kiện a ≤ 4, ta nhận a < 3.

Vậy a < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay