Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm M thỏa các điều kiện:

a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).

b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).

c) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).

d) \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} \) (luôn đúng).

Vậy mọi điểm M đều thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AB} \).

⇔ A ≡ B (vô lí vì hai điểm A và B phân biệt).

Vậy không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).

c) Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \vec 0\).

⇔ M ≡ C.

Vậy M ≡ C thì thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).

d) Ta có \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)

⇔ MC = BC.

Vậy tập hợp các điểm M sao cho MC = BC thì thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).