Câu hỏi:
13/07/2024 7,756
Cho abc ≠ 1 và \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\). Chứng minh rằng a = b = c.
Cho abc ≠ 1 và \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\). Chứng minh rằng a = b = c.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có: \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\), suy ra: \(a + \frac{1}{b}\, = \,\,b + \frac{1}{c}\,\, = \,\,c + \frac{1}{a}\).
Từ \(a + \frac{1}{b}\, = \,b + \frac{1}{c}\,\) suy ra: a – b = \(\frac{{b - c}}{{bc}}\) (1)
Tương tự ta có: b – c = \(\frac{{c - a}}{{ac}}\) (2)
c – a = \(\frac{{a - b}}{{ab}}\) (3)
Nhân (1), (2) , (3) theo vế ta có:
(a – b)(b – c)(c – a) = \(\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
hay (a – b)(b – c)(c – a)\(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right)\) = 0
Vì abc ≠ 1 nên a2b2c2 ≠ 1. Suy ra: \(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right) \ne 0\)
Do đó: (a – b)(b – c)(c – a) = 0
Suy ra: a = b hoặc b = c hoặc c = a
Với a = b, thay vào (1) suy ra: b = c. Vậy a = b = c
Tương tự đối với b = c hoặc c = a.
Vậy a = b = c.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta thấy trong 3 số thì số b là nhỏ nhất
b kém a 10 lần
b kém c 100 lần
Tổng a + b + c = 100b + b + 10b = 111b = 221,778
Suy ra b = 1,998
Do đó số a là 19,98; số c là: 199,8
Vậy số thập phân a cần tìm là 19,98.
Lời giải
Hai xe đầu chở được số tạ hàng là : 35 . 2 = 70 (tạ hàng) .
Ba xe sau chở được số tạ hàng là : 45 . 3 = 135 (tạ hàng) .
Trung bình mỗi xe chở được số tạ hàng là : (70 + 135) : 5 = 41 (tạ hàng).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.