Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng mình rằng:

a) \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \);

b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \);

c) \(\overrightarrow {GH} + 2\overrightarrow {GO} = 0\).

a) Dễ thấy \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \) nếu tam giác ABC vuông.

Nếu tam giác ABC vuông gọi D là điểm đối xứng với A qua O khi đó

BH // DC (cùng vuông góc AC)

BD // CH (cùng vuông góc AB)

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó:

\(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \) (1)

Mặt khác vì O là trung điểm AD nên \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \)

b) Theo câu a ta có

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \Leftrightarrow (\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} ) + (\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} ) + (\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} ) = 2\overrightarrow {HO} \)

⇔ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} \) (dpcm)

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow {OG} \)

Mặt khác theo câu b ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} \)

Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow (\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OH} ) - 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GH} + 2\overrightarrow {GO} = \overrightarrow 0 \)