Câu hỏi:

11/07/2024 2,463

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến  (ảnh 1)

a) Ta có:

\(\widehat {OBA} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

\(\widehat {OCA} = 90^\circ \) (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ABM và ∆ANB có:

\(\widehat {NAB}\) là góc chung.

\(\widehat {ANB} = \widehat {ABM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{NB}} \Leftrightarrow AB.BM = AM.NB\) (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK  MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra \(\widehat {OKM} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM đồng dạng ∆ANB (cmt) nên ta có: 

\(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow \) AB2 = AM.AN

Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM . AN = AH . AO 

\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)

Xét ∆AMH và ∆AON có:

\(\widehat {OAN}\)là góc chung

\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\) (cmt)

Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)      

Từ đó suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\) (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra \(\widehat {KMH} = \widehat {KAC}\) (hai góc đồng vị).

Ta lại có \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {KMH}\) suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

\(\widehat {MKH} = \widehat {MBH}\) (tứ giác KBMH nội tiếp)

\(\widehat {MNC} = \widehat {MBC}\) (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

\(\widehat {MKH} = \widehat {MNC} \Rightarrow KH\,\,{\rm{//}}\,\,NC\) (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

Do đó IH là đường trung bình của tam giác NBC hay IH // NC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ – clit).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.

Xem đáp án » 11/07/2024 8,842

Câu 2:

Có tất cả 18 quả táo, cam và xoài. Số quả cam bằng \(\frac{1}{2}\) số quả táo. Số quả xoài gấp 3 lần số quả cam. Tính số quả táo.

Xem đáp án » 11/07/2024 5,206

Câu 3:

Cho hàm số y = (2m – 1)x + 2. Tìm m để:

a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất;

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến;

c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A (2; 4);

d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x.

Xem đáp án » 11/07/2024 4,282

Câu 4:

Phân tích đa thức thành nhân tử:  x2 – y2 + 12y – 36.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,882

Câu 5:

Một người bán một chiếc quạt điện với giá 198 000 đồng thì được lãi 10% tiền vốn một chiếc. Hỏi để lãi 10% giá bán thì người đó phải bán chiếc quạt đó với giá bao nhiêu?

Xem đáp án » 11/07/2024 3,515

Câu 6:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D .
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,432

Câu 7:

Độ dài 2 đường chéo của hình bình hành tỉ lệ với độ dài 2 cạnh kề của nó. Chứng minh rằng các góc tạo bởi 2 đường chéo bằng góc của hình bình hành

Xem đáp án » 11/07/2024 3,185
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua