Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

a) Ta có:

• \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

• \(\widehat {OCA} = 90^\circ \) (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ABM và ∆ANB có:

\(\widehat {NAB}\) là góc chung.

\(\widehat {ANB} = \widehat {ABM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{NB}} \Leftrightarrow AB.BM = AM.NB\) (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra \(\widehat {OKM} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM đồng dạng ∆ANB (cmt) nên ta có: 

\(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow \) AB² = AM.AN

Mà ta cũng có AB² = AH.AO (∆ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM . AN = AH . AO 

\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)

Xét ∆AMH và ∆AON có:

\(\widehat {OAN}\)là góc chung

\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\) (cmt)

Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)      

Từ đó suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\) (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra \(\widehat {KMH} = \widehat {KAC}\) (hai góc đồng vị).

Ta lại có \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {KMH}\) suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

\(\widehat {MKH} = \widehat {MBH}\) (tứ giác KBMH nội tiếp)

\(\widehat {MNC} = \widehat {MBC}\) (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

⟹ \(\widehat {MKH} = \widehat {MNC} \Rightarrow KH\,\,{\rm{//}}\,\,NC\) (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

Do đó IH là đường trung bình của tam giác NBC hay IH // NC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ – clit).