Câu hỏi:
11/07/2024 2,434Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.
b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).
c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có:
• \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))
• \(\widehat {OCA} = 90^\circ \) (AC là tiếp tuyến của (O))
Xét tứ giác ABOC có \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.
Xét ∆ABM và ∆ANB có:
\(\widehat {NAB}\) là góc chung.
\(\widehat {ANB} = \widehat {ABM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).
Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)
Từ đó suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{NB}} \Leftrightarrow AB.BM = AM.NB\) (đpcm)
b) Tứ giác ABOC nội tiếp có \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.
Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).
Suy ra \(\widehat {OKM} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.
Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.
Vì ∆ABM đồng dạng ∆ANB (cmt) nên ta có:
\(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)
\( \Leftrightarrow \) AB2 = AM.AN
Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ABO vuông tại B có đường cao BH).
Suy ra AM . AN = AH . AO
\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)
Xét ∆AMH và ∆AON có:
\(\widehat {OAN}\)là góc chung
\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\) (cmt)
Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)
Từ đó suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\) (hai góc tương ứng).
c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).
Suy ra \(\widehat {KMH} = \widehat {KAC}\) (hai góc đồng vị).
Ta lại có \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (tứ giác KBAC nội tiếp)
Từ đó suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {KMH}\) suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.
\(\widehat {MKH} = \widehat {MBH}\) (tứ giác KBMH nội tiếp)
\(\widehat {MNC} = \widehat {MBC}\) (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))
⟹ \(\widehat {MKH} = \widehat {MNC} \Rightarrow KH\,\,{\rm{//}}\,\,NC\) (1)
Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).
Do đó IH là đường trung bình của tam giác NBC hay IH // NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ – clit).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
Câu 2:
Có tất cả 18 quả táo, cam và xoài. Số quả cam bằng \(\frac{1}{2}\) số quả táo. Số quả xoài gấp 3 lần số quả cam. Tính số quả táo.
Câu 4:
Cho hàm số y = (2m – 1)x + 2. Tìm m để:
a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất;
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến;
c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A (2; 4);
d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x.
Câu 5:
Câu 6:
Một người bán một chiếc quạt điện với giá 198 000 đồng thì được lãi 10% tiền vốn một chiếc. Hỏi để lãi 10% giá bán thì người đó phải bán chiếc quạt đó với giá bao nhiêu?
Câu 7:
Độ dài 2 đường chéo của hình bình hành tỉ lệ với độ dài 2 cạnh kề của nó. Chứng minh rằng các góc tạo bởi 2 đường chéo bằng góc của hình bình hành
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận