Câu hỏi:
11/07/2024 1,809
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.
b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).
c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.
b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).
c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có:
• \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))
• \(\widehat {OCA} = 90^\circ \) (AC là tiếp tuyến của (O))
Xét tứ giác ABOC có \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.
Xét ∆ABM và ∆ANB có:
\(\widehat {NAB}\) là góc chung.
\(\widehat {ANB} = \widehat {ABM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).
Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)
Từ đó suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{NB}} \Leftrightarrow AB.BM = AM.NB\) (đpcm)
b) Tứ giác ABOC nội tiếp có \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.
Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).
Suy ra \(\widehat {OKM} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.
Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.
Vì ∆ABM đồng dạng ∆ANB (cmt) nên ta có:
\(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)
\( \Leftrightarrow \) AB2 = AM.AN
Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ABO vuông tại B có đường cao BH).
Suy ra AM . AN = AH . AO
\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)
Xét ∆AMH và ∆AON có:
\(\widehat {OAN}\)là góc chung
\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\) (cmt)
Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)
Từ đó suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\) (hai góc tương ứng).
c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).
Suy ra \(\widehat {KMH} = \widehat {KAC}\) (hai góc đồng vị).
Ta lại có \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (tứ giác KBAC nội tiếp)
Từ đó suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {KMH}\) suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.
\(\widehat {MKH} = \widehat {MBH}\) (tứ giác KBMH nội tiếp)
\(\widehat {MNC} = \widehat {MBC}\) (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))
⟹ \(\widehat {MKH} = \widehat {MNC} \Rightarrow KH\,\,{\rm{//}}\,\,NC\) (1)
Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).
Do đó IH là đường trung bình của tam giác NBC hay IH // NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ – clit).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
Xem đáp án »
11/07/2024
4,378
Câu 2:
Có tất cả 18 quả táo, cam và xoài. Số quả cam bằng \(\frac{1}{2}\) số quả táo. Số quả xoài gấp 3 lần số quả cam. Tính số quả táo.
Có tất cả 18 quả táo, cam và xoài. Số quả cam bằng \(\frac{1}{2}\) số quả táo. Số quả xoài gấp 3 lần số quả cam. Tính số quả táo.
Xem đáp án »
11/07/2024
4,052
Câu 4:
Tìm x, biết: \[\frac{1}{4}{x^2} - \left( {\frac{1}{2}x - 4} \right)\frac{1}{2}x = - 14\].
Tìm x, biết: \[\frac{1}{4}{x^2} - \left( {\frac{1}{2}x - 4} \right)\frac{1}{2}x = - 14\].
Xem đáp án »
11/07/2024
2,362
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
Tứ giác MANF là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
Tứ giác MANF là hình vuông.
Xem đáp án »
11/07/2024
1,866
Câu 6:
Cho hàm số y = (2m – 1)x + 2. Tìm m để:
a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất;
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến;
c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A (2; 4);
d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x.
Cho hàm số y = (2m – 1)x + 2. Tìm m để:
a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất;
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến;
c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A (2; 4);
d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x.
Xem đáp án »
11/07/2024
1,755
về câu hỏi!