Cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?

c) Chứng minh: \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).

a) Ta có MN ^ CE (gt); AB ^ CE (gt)

Þ MN // AB

Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành) nên MN // CD

Tứ giác MNCD có MN // CD

Và MD // CN (AD // BC, M Î AD, N Î BC)

Do đó tứ giác MNCD là hình bình hành.

b) Gọi F là giao điểm của MN và EC

Hình thang AECD (EC // CD) có MF // AE // CD

Và M là trung điểm của AD (gt)

Þ F là trung điểm của EC.

ΔMEC có MF là đường trung tuyến (F là trung điểm của EC)

Và MF là đường cao (MF ^ EC)

Þ ΔMEC cân tại M.

c) Ta có AD = 2AB (gt)

AD = 2MD (M là trung điểm của AD)

Và AB = CD (ABCD là hình bình hành) Þ MD = CD

Hình bình hành MNCD có MD = CD nên là hình thoi.

Þ CM là đường phân giác \(\widehat {EMF} = \widehat {CMF}\)

Mà \(\widehat {EMF} = \widehat {AEM}\) (hai góc so le trong và AE // MF)

Và \(\widehat {CMF} = \widehat {MCD}\) (hai góc so le trong và MF // CD)

Nên \(\widehat {AEM} = \widehat {MCD}\).

Ta có \(\widehat {AEM} = \widehat {MCD};\;2\widehat {MCD} = \widehat {NCD}\) (CM là tia phân giác của \(\widehat {NCD}\))

Và \(\widehat {NCD} = \widehat {BAD}\) (ABCD là hình bình hành) 

\( \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {BAD}\).