Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x3 – (x + y + z)2 = (y + z)3 + 34.

Đặt y + z = a với a ∈ ℤ, a ≥ 2 ta có: x3 – (x + a)2 = a3 + 34 Û x3 – a3 = (x + a)2 + 34 (1) Û (x – a)(x2 + xa + a2) = x2 + 2xa + a2 + 34 (2) Û (x2 + xa + a2)(x – a – 1) = xa + 34 Vì x, a nguyên dương nên x2 + xa + a2 > 0 và xa + 34 > 0 Suy ra x – a – 1 > 0 hay x – a ≥ 2 Kết hợp với (2) suy ra x2 + 2xa + a2 + 34 ≥ 2(x2 + xa + a2) Û x2 + a2 ≤ 34 Þ x2 ≤ 34 Þ x < 6 Mà x ≥ a + 2 ≥ 4 nên x ∈ {4; 5} – Xét x = 5, từ x2 + a2 ≤ 34 suy ra a ≤ 3, kết hợp a ∈ ℤ, a ≥ 2 (theo cách đặt) ta được a ∈ {2; 3}. • Với x = 5, a = 2 thay vào (1) không thỏa mãn. • Với x = 5, a = 3 thỏa mãn (1) và được y = 1; z = 2 hoặc y = 2; z = 1. – Xét x = 4, từ x – a ≥ 2 suy ra a ≤ 2 (mà a = 2 loại vì không thỏa mãn (1)) Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x; y; z) ∈ {(5; 1; 2); (5; 2; 1)}.

Câu hỏi:

15/06/2023 1,276

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x³ – (x + y + z)² = (y + z)³ + 34.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt y + z = a với a ∈ ℤ, a ≥ 2 ta có:

x³ – (x + a)² = a³ + 34

Û x³ – a³ = (x + a)² + 34 (1)

Û (x – a)(x² + xa + a²) = x² + 2xa + a² + 34 (2)

Û (x² + xa + a²)(x – a – 1) = xa + 34

Vì x, a nguyên dương nên x² + xa + a² > 0 và xa + 34 > 0

Suy ra x – a – 1 > 0 hay x – a ≥ 2

Kết hợp với (2) suy ra x² + 2xa + a² + 34 ≥ 2(x² + xa + a²)

Û x² + a² ≤ 34

Þ x² ≤ 34 Þ x < 6

Mà x ≥ a + 2 ≥ 4 nên x ∈ {4; 5}

– Xét x = 5, từ x² + a² ≤ 34 suy ra a ≤ 3, kết hợp a ∈ ℤ, a ≥ 2 (theo cách đặt) ta được a ∈ {2; 3}.

• Với x = 5, a = 2 thay vào (1) không thỏa mãn.

• Với x = 5, a = 3 thỏa mãn (1) và được y = 1; z = 2 hoặc y = 2; z = 1.

– Xét x = 4, từ x – a ≥ 2 suy ra a ≤ 2 (mà a = 2 loại vì không thỏa mãn (1))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x; y; z) ∈ {(5; 1; 2); (5; 2; 1)}.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ ?

A. $- \frac{π}{4}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{3 π}{4}$

D. $\frac{13 π}{4}$

Lời giải

Chọn A

$\frac{7 π}{4} = - \frac{π}{4} + 2 π$

Nên góc có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ là $- \frac{π}{4}$ .

Câu 2

Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau?

Xem đáp án

Lời giải

a) Sắp xếp 5 học sinh nữ có 5! cách

Khi đó, giữa các bạn nữ có 6 khoảng trống

Sắp xếp các bạn nam vào những khoảng trống đó có $A_{6}^{5}$ cách.

⇒ Có $A_{6}^{5} .5! = 86400$ cách xếp nam nữ xen kẽ

b) Coi 5 học sinh nữ là một nhóm và 5 học sinh nam là một nhóm

⇒ Mỗi nhóm có 5! cách sắp xếp

Sắp xếp hai nhóm với nhau có 2 cách

⇒ Có 5!.5!.2 = 28800 cách sắp xếp những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau.

Câu 3