Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh rằng tam giác AQR và tam giác APS là tam giác cân.

Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7\pi }{4}$?

Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam trong đó có Lớp trưởng. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm.

Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là.

a) $\frac{3\pi }{4}$

b) 51°

c) $\frac{1}{3}$

Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau?

Các chữ số đôi một khác nhau là gì? Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau?

Cho hình thoi ABCD có cạnh a, có $\widehat{BA\text{D}}=60°$ . Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}\right|,\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|,\left|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{\text{DC}}\right|.$

Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.