Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC). M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC và \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N. Chứng minh ∆MNC cân.

c) Chứng minh: N trung điểm của AC.

a) Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

AM là cạnh chung

BM = MC (do M là trung điểm của BC)

Do đó ∆AMB = ∆AMC (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng)

b) Vì MN // AB (gt)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {NMC}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat B = \widehat C\) (do ∆ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat {NMC}\)

\( \Rightarrow \) ∆MNC cân tại N

c) Vì ∆MNC cân tại N (theo câu b))

\( \Rightarrow \) NC = NM (1)

Vì MN//AB (gt)

\( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {AMN}\) (so le trong)

Mà \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (theo câu a))

\( \Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {AMN}\) hay \(\widehat {NAM} = \widehat {AMN}\)

\( \Rightarrow \) ∆MNA cân tại N

\( \Rightarrow \) AN = MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra NC = AN

Mà điểm N nằm giữa hai điểm A và C.

Suy ra N là trung điểm của AC.