Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.

Kẻ NH ^ OD

ABCD là hình vuông nên AC ^ BD và AC = BD

Þ NH // OC

Xét ΔOCD có:

NC = ND (vì N là trung điểm của CD)

NH // OC

Þ NH là đường trung bình của ΔOCD

Þ H là trung điểm của OD và \[NH = \frac{1}{2}OC\]

Þ NH = OM

Ta có:

\[HM = OM + OH = \frac{1}{2}OB + \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}BD\]

Þ HM = OA

Xét ΔOMA và ΔHNM có:

\[\widehat H = \widehat O = 90^\circ \]

NH = OM

HM = OA

ΔHNM = ΔOMA (c.g.c)

\[ \Rightarrow \widehat {HMN} = \widehat {OAM}\]

Do đó:

\[\widehat {AMN} = \widehat {AMO} + \widehat {HMN} = \widehat {AMO} + \widehat {OAM} = 90^\circ \]

Gọi I là trung điểm của AN

Xét ΔAMN vuông tại M có I là trung điểm của AN

\[ \Rightarrow IM = IN = IA = \frac{1}{2}AN\]

Xét ΔADN vuông tại D có I là trung điểm của AN

\[ \Rightarrow ID = IN = IA = \frac{1}{2}AN\]

Do đó: IA = IM = IN = ID hay 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.

Vậy bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.