Câu hỏi:
16/06/2023 269
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Kẻ NH ^ OD
ABCD là hình vuông nên AC ^ BD và AC = BD
Þ NH // OC
Xét ΔOCD có:
NC = ND (vì N là trung điểm của CD)
NH // OC
Þ NH là đường trung bình của ΔOCD
Þ H là trung điểm của OD và \[NH = \frac{1}{2}OC\]
Þ NH = OM
Ta có:
\[HM = OM + OH = \frac{1}{2}OB + \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}BD\]
Þ HM = OA
Xét ΔOMA và ΔHNM có:
\[\widehat H = \widehat O = 90^\circ \]
NH = OM
HM = OA
ΔHNM = ΔOMA (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {HMN} = \widehat {OAM}\]
Do đó:
\[\widehat {AMN} = \widehat {AMO} + \widehat {HMN} = \widehat {AMO} + \widehat {OAM} = 90^\circ \]
Gọi I là trung điểm của AN
Xét ΔAMN vuông tại M có I là trung điểm của AN
\[ \Rightarrow IM = IN = IA = \frac{1}{2}AN\]
Xét ΔADN vuông tại D có I là trung điểm của AN
\[ \Rightarrow ID = IN = IA = \frac{1}{2}AN\]
Do đó: IA = IM = IN = ID hay 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.
Vậy bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Học sinh lớp 6A có từ 40 đến 50 em. Khi xếp hàng 3 hoặc 5 đều dư 2 em. Tìm số học sinh lớp 6A.
Học sinh lớp 6A có từ 40 đến 50 em. Khi xếp hàng 3 hoặc 5 đều dư 2 em. Tìm số học sinh lớp 6A.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,697
Câu 2:
Cho 3a + 2b chia hết cho 17. Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17.
Cho 3a + 2b chia hết cho 17. Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,858
Câu 3:
Một đội công nhân sửa đường trong 15 ngày đầu sửa được 475 m đường, 12 ngày sau sửa được 470 m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân đó sửa được bao nhiêu mét đường?
Một đội công nhân sửa đường trong 15 ngày đầu sửa được 475 m đường, 12 ngày sau sửa được 470 m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân đó sửa được bao nhiêu mét đường?
Xem đáp án »
12/07/2024
3,065
Câu 4:
Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con, 12 năm trước tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con. Tìm tuổi mỗi người hiện nay.
Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con, 12 năm trước tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con. Tìm tuổi mỗi người hiện nay.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,614
Câu 5:
Một cửa hàng cả ngày bán được 450 tấn gạo, trong đó buổi sáng bán được 65% số gạo. Hỏi buổi chiều của hàng đó bán được bao nhiêu tấn gạo?
Một cửa hàng cả ngày bán được 450 tấn gạo, trong đó buổi sáng bán được 65% số gạo. Hỏi buổi chiều của hàng đó bán được bao nhiêu tấn gạo?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,614
Câu 6:
Học sinh khối 7 một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp hàng 4, 5 hoặc 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 7 của trường.
Học sinh khối 7 một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp hàng 4, 5 hoặc 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 7 của trường.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,159
Câu 7:
Một cửa hàng có 2,5 tấn gạo. Buổi sáng bán được \[\frac{1}{5}\] số gạo cửa hàng. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu tạ gạo?
Một cửa hàng có 2,5 tấn gạo. Buổi sáng bán được \[\frac{1}{5}\] số gạo cửa hàng. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu tạ gạo?
Xem đáp án »
13/07/2024
1,889
về câu hỏi!