Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi S là giao điểm của BC, DE. M là trung điểm của BC. Chứng minh SH² + AM² = SM².

Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra AM = MB = MC.

Tứ giác ADHE, có: $\widehat{DAE}=\widehat{ADE}=\widehat{AEH}=90°$

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

Xét ∆ADE và ∆EHA, có:

AD = EH (ADHE là hình chữ nhật);

$\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=90°$

AE chung.

Do đó ∆ADE = ∆EHA (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{AHE}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADE}=\widehat{SDB}$ (đối đỉnh).

Do đó $\widehat{SDB}=\widehat{AHE}$

Vì vậy $\widehat{SDB}+90°=\widehat{AHE}+90°$

Suy ra $\widehat{SDB}+\widehat{BDH}=\widehat{AHE}+\widehat{BHA}$

Do đó $\widehat{SDH}=\widehat{SHE}$

Xét ∆SHD và ∆SEH, có:

$\widehat{DSH}$ chung;

$\widehat{SDH}=\widehat{SHE}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta SHD\backsim \Delta SEH$(g.g).

Suy ra $\frac{SH}{SE}=\frac{SD}{SH}$

Vì vậy SH² = SE.SD   (1)

Ta có $\widehat{AHE}=\widehat{SCE}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$).

Mà $\widehat{SDB}=\widehat{AHE}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{SDB}=\widehat{SCE}$

Xét ∆SBD và ∆SEC, có:

$\widehat{DSB}$ chung;

$\widehat{SDB}=\widehat{SCE}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta SBD\backsim \Delta SEC$(g.g).

Suy ra $\frac{SB}{SE}=\frac{SD}{SC}$

Vì vậy SB.SC = SD.SE    (2)

Từ (1), (2), suy ra SH² = SB.SC = (SM – MC)(SM + MC).

= SM² – MC² = SM² – AM².

Vậy SH² + AM² = SM² (điều phải chứng minh).