Câu hỏi:

11/07/2024 677

Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC sao cho BM = BC và CN = CH. Chứng minh MN vuông góc với AC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC sao cho BM = BC và CN = CH. Chứng minh MN vuông góc với AC. (ảnh 1)

Xét tam giác MCB có: BM = BC (giả thiết)

Suy ra tam giác MCB cân tại B, nên $\hat{B C M} = \hat{H M C}$

Xét tam giác CHM vuông tại H có $\hat{H M C} + \hat{H C M} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay $\hat{H C M} = 90 ° - \hat{H M C}$

Ta có: $\hat{M C N} + \hat{M C B} = \hat{A C B} = 90 °$

Hay $\hat{N C M} = 90 ° - \hat{M C B}$

Mà $\hat{B C M} = \hat{H M C}$ , suy ra $\hat{H C M} = \hat{M C N}$

Xét tam giác MCH và tam giác MCN có:

CH = CN (giả thiết);

$\hat{H C M} = \hat{M C N}$ (chứng minh trên);

CM chung

Do đó ∆MCH = ∆MCN (c.g.c)

Suy ra $\hat{C H M} = \hat{C N M}$

Mà $\hat{C H M} = 90 °$ , do đó $\hat{C N M} = 90 °$

Hay MN vuông góc với AC

Vậy MN vuông góc với AC.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x biết $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{10}) x = \frac{1}{9} + \frac{2}{8} + \frac{3}{7} + ... + \frac{9}{1} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\frac{1}{9} + \frac{2}{8} + \frac{3}{7} + ... + \frac{9}{1}$

= \frac{1}{9} + 1 + \frac{2}{8} + 1 + \frac{3}{7} + 1 + ... + \frac{9}{1} + 1 + 1 - 10

= \frac{10}{9} + \frac{10}{8} + \frac{10}{7} + ... + \frac{10}{1} + 1 - 10

= \frac{10}{9} + \frac{10}{8} + \frac{10}{7} + ... + \frac{10}{2} + 1

= 10 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{10})

Suy ra

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{10}) x = \frac{1}{9} + \frac{2}{8} + \frac{3}{7} + ... + \frac{9}{1}

\Leftrightarrow (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{10}) x = 10 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{10})

\Leftrightarrow x = 10

Vậy x = 10.

Câu 2

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và $\hat{A} = 60 °$ .

a) Tính cạnh BC.

Xem đáp án

Lời giải

. Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và góc A=60 độ . a) Tính cạnh BC. (ảnh 1)

a) Kẻ CH ⊥ AB, DK ⊥ AB

Suy ra DK // CH (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà CD // HK

Suy ra CDKH là hình bình hành

Lại có $\hat{C H K} = 90 °$ nên CDKH là hình chữ nhật

Suy ra KH = CD = 10 (cm)

Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC và $\hat{A} = \hat{B} = 60 °$

Xét ∆AKD và ∆BHC có

$\hat{A} = \hat{B}$ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên);

$\hat{A K D} = \hat{B H C} (= 90 °)$

Do đó ∆AKD = ∆BHC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AK = BH

Ta có AB = AK + KH + BH = 30

Hay 2AK + 10 = 30

Suy ra AK = BH = 10 (cm)

Xét tam giác BCH vuông ở H

Suy ra $B C = \frac{B H}{cos \hat{B}} = \frac{10}{cos60 °} = 20$ (cm)

Câu 3