Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Ta có: 3c2 = c(a + b) + ab ⇒ 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1) Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2) Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3) Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố ⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1 * Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ) ⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1 Khi đó (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương. Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp ⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c) = 1 Từ (1) ⇒ (2c)2 = (a + c)(b + c) Đặt a + c = m2 và b + c = n2 (m, n ∈ ℕ) ⇒ m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố. Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2 là số chính phương. Vậy 8c + 1 là số chính phương.

Câu hỏi:

19/08/2025 5,152

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: 3c²= c(a + b) + ab ⇒ 4c² = c² + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)

Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)² < (a + c)(b + c) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3)

Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố

⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1

* Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ)

⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1

Khi đó (1) trở thành (2c)² = p²kh = p²k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương.

Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))

* Nếu (a + c, b + c) = 1

Từ (1) ⇒ (2c)² = (a + c)(b + c)

Đặt a + c = m² và b + c = n² (m, n ∈ ℕ)

⇒ m² – n² = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.

Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b

Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)² là số chính phương.

Vậy 8c + 1 là số chính phương.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Xem đáp án

Lời giải

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + z x)$

$\Leftrightarrow (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (y^{2} - 2 y z + z^{2}) + (z^{2} - 2 x z + x^{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0$

Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.

Câu 2

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Xem đáp án

Lời giải

Nửa chu vi của thửa ruộng đó là: 400 : 2 = 200 (m).

Coi chiều dài là 3 phần và chiều rộng là 2 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 2 = 5 (phần)

Chiều dài thửa ruộng là: 200 : 5 × 3 = 120 (m)

Chiều rộng thửa ruộng là: 200 – 120 = 80(m)

Diện tích thửa ruộng là: 120 × 80 = 9600 (m²)

Trên thửa ruộng đó thu hoạch được:

9600 : 100 × 50 = 4800(kg) = 48 (tạ)

Đáp số: 48 tạ thóc.

Câu 3

Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ≥ 0 ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ 2xy – 2xz + 2yz.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ≥ 0 ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ 2xy – 2xz + 2yz.

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$ .