Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c² = c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Ta có: 3c² = c(a + b) + ab ⇒ 4c² = c² + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)

Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)² < (a + c)(b + c) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3)

Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố

⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1

* Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ)

⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1

Khi đó (1) trở thành (2c)² = p²kh = p²k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương.

Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))

* Nếu (a + c, b + c) = 1

Từ (1) ⇒ (2c)² = (a + c)(b + c)

Đặt a + c = m² và b + c = n² (m, n ∈ ℕ)

⇒ m² – n² = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.

Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b

Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)² là số chính phương.

Vậy 8c + 1 là số chính phương.