Câu hỏi:
30/06/2023 1,894
Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab.
Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.
Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab.
Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: 3c2 = c(a + b) + ab ⇒ 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)
Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3)
Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố
⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1
* Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ)
⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1
Khi đó (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương.
Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp
⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))
* Nếu (a + c, b + c) = 1
Từ (1) ⇒ (2c)2 = (a + c)(b + c)
Đặt a + c = m2 và b + c = n2 (m, n ∈ ℕ)
⇒ m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.
Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b
Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2 là số chính phương.
Vậy 8c + 1 là số chính phương.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:
a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx;
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:
a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx;
Xem đáp án »
12/07/2024
4,584
Câu 2:
Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m2 thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?
Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m2 thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?
Xem đáp án »
12/07/2024
4,008
Câu 5:
Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.
Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.
Xem đáp án »
11/07/2024
2,087
Câu 6:
Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).
Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).
Xem đáp án »
12/07/2024
1,810
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!