Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Ta có: 3c2 = c(a + b) + ab ⇒ 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1) Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2) Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3) Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố ⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1 * Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ) ⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1 Khi đó (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương. Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp ⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c) = 1 Từ (1) ⇒ (2c)2 = (a + c)(b + c) Đặt a + c = m2 và b + c = n2 (m, n ∈ ℕ) ⇒ m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố. Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2 là số chính phương. Vậy 8c + 1 là số chính phương.

Câu hỏi:

30/06/2023 2,678

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: 3c²= c(a + b) + ab ⇒ 4c² = c² + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)

Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)² < (a + c)(b + c) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3)

Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố

⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1

* Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ)

⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1

Khi đó (1) trở thành (2c)² = p²kh = p²k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương.

Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))

* Nếu (a + c, b + c) = 1

Từ (1) ⇒ (2c)² = (a + c)(b + c)

Đặt a + c = m² và b + c = n² (m, n ∈ ℕ)

⇒ m² – n² = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.

Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b

Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)² là số chính phương.

Vậy 8c + 1 là số chính phương.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Xem đáp án

Lời giải

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + z x)$

$\Leftrightarrow (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (y^{2} - 2 y z + z^{2}) + (z^{2} - 2 x z + x^{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0$

Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.

Câu 2

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Xem đáp án

Lời giải

Nửa chu vi của thửa ruộng đó là: 400 : 2 = 200 (m).

Coi chiều dài là 3 phần và chiều rộng là 2 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 2 = 5 (phần)

Chiều dài thửa ruộng là: 200 : 5 × 3 = 120 (m)

Chiều rộng thửa ruộng là: 200 – 120 = 80(m)

Diện tích thửa ruộng là: 120 × 80 = 9600 (m²)

Trên thửa ruộng đó thu hoạch được:

9600 : 100 × 50 = 4800(kg) = 48 (tạ)

Đáp số: 48 tạ thóc.

Câu 3

Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính $27^{4} : 9^{3}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có: a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx;

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng 23 chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m2 thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Tính 274:93 .

Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Tính $27^{4} : 9^{3}$ .