Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH, SO vuông góc mp(ABC) và SO = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI = x (a < x < 2a) và (α) là mặt phẳng qua I và (α) vuông góc AH.
a) Xác định thiết diện của (α) với tứ diện S.ABC.
b) Tính diện tích thiết diện của (α) và S.ABC theo a và x.
Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH, SO vuông góc mp(ABC) và SO = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI = x (a < x < 2a) và (α) là mặt phẳng qua I và (α) vuông góc AH.
a) Xác định thiết diện của (α) với tứ diện S.ABC.
b) Tính diện tích thiết diện của (α) và S.ABC theo a và x.
Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) • Ta có: BC ⊥ OH
Qua I, dựng MQ // BC (M ∈ AB, Q ∈ AC) thì MQ ⊥ OH.
Mặt khác, ta có: SO ⊥ OH.
Dựng IJ // OS (J ∈ SH) thì IJ ∈ OH.
Do đó mp(α) là mặt phẳng (JMQ).
• Ta có: MQ // BC nên (α) // BC.
Suy ra (α) cắt (SBC) theo giao tuyến qua J và song song với BC.
Do đó, qua J dựng đường thẳng song song với BC, cắt SB và SC tại N và P ta được MNPQ là thiết diện cần dựng.
Vì NP // MQ // BC nên MNPQ là hình thang.
Ta có: OB = OC Þ DSOB = DSOC Þ SB = SC
Þ DSAB = DSAC \( \Rightarrow \widehat {SBA} = \widehat {SCA}\).
Ta cũng có: BN = CP, BM = CQ, do đó: DBMN = DCQP.
Do đó: MN = QP suy ra MP = NQ.
Vậy thiết diện là hình thang cân.
c) Do AH = 2a, ta tính được \(BC = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{{MQ}}{{BC}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{x}{{2a}} \Rightarrow MQ = \frac{x}{{2a}}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{SJ}}{{SH}} = \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{x - a}}{a}\)
\( \Rightarrow NP = \frac{{x - a}}{a}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\left( {x - a} \right)\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{{IJ}}{{OS}} = \frac{{HI}}{{HO}} = \frac{{2a - x}}{a} \Rightarrow IJ = 2\left( {2a.x} \right)\)
\({S_{MNP}} = \frac{1}{2}\left( {MQ + NP} \right)IJ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x\sqrt 3 }}{3} + \frac{{4\left( {x - a} \right)\sqrt 3 }}{3}} \right)2\left( {2a - x} \right)\)
\( = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3x - 2a} \right)\left( {2a - x} \right)\).
Àp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{S = 2\sqrt 3 \left( {x - \frac{2}{3}} \right)\left( {2a - x} \right) \le 2\sqrt 3 {{\left( {\frac{{x - - a + 2a - x}}{3}} \right)}^2} = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}{a^2}}\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x.\frac{2}{3}a = 2a - x \Leftrightarrow x = \frac{4}{9}a{\rm{\;}}\left( {tm} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} \\\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MI} \end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {MI} } \right) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \frac{{\overrightarrow {BC} }}{2}\]
\[ \Rightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \]
Lại có: \(\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{3}\)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)
Do đó: \(4\overrightarrow {BI} = 3\overrightarrow {BK} \) ⇒ B, I, K thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải.
(102 + 112 + 122) : (132 + 142)
= (10 × 10 + 11 × 11 + 12 × 12) : (132 + 142)
= [(12 + 1)2 + (12 + 2)2] : (132 + 142)
= (132 + 142) : (132 + 142)
= 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập