Câu hỏi:
03/07/2023 1,247
Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH, SO vuông góc mp(ABC) và SO = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI = x (a < x < 2a) và (α) là mặt phẳng qua I và (α) vuông góc AH.
a) Xác định thiết diện của (α) với tứ diện S.ABC.
b) Tính diện tích thiết diện của (α) và S.ABC theo a và x.
Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH, SO vuông góc mp(ABC) và SO = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI = x (a < x < 2a) và (α) là mặt phẳng qua I và (α) vuông góc AH.
a) Xác định thiết diện của (α) với tứ diện S.ABC.
b) Tính diện tích thiết diện của (α) và S.ABC theo a và x.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) • Ta có: BC ⊥ OH
Qua I, dựng MQ // BC (M ∈ AB, Q ∈ AC) thì MQ ⊥ OH.
Mặt khác, ta có: SO ⊥ OH.
Dựng IJ // OS (J ∈ SH) thì IJ ∈ OH.
Do đó mp(α) là mặt phẳng (JMQ).
• Ta có: MQ // BC nên (α) // BC.
Suy ra (α) cắt (SBC) theo giao tuyến qua J và song song với BC.
Do đó, qua J dựng đường thẳng song song với BC, cắt SB và SC tại N và P ta được MNPQ là thiết diện cần dựng.
Vì NP // MQ // BC nên MNPQ là hình thang.
Ta có: OB = OC Þ DSOB = DSOC Þ SB = SC
Þ DSAB = DSAC \( \Rightarrow \widehat {SBA} = \widehat {SCA}\).
Ta cũng có: BN = CP, BM = CQ, do đó: DBMN = DCQP.
Do đó: MN = QP suy ra MP = NQ.
Vậy thiết diện là hình thang cân.
c) Do AH = 2a, ta tính được \(BC = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{{MQ}}{{BC}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{x}{{2a}} \Rightarrow MQ = \frac{x}{{2a}}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{SJ}}{{SH}} = \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{x - a}}{a}\)
\( \Rightarrow NP = \frac{{x - a}}{a}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\left( {x - a} \right)\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{{IJ}}{{OS}} = \frac{{HI}}{{HO}} = \frac{{2a - x}}{a} \Rightarrow IJ = 2\left( {2a.x} \right)\)
\({S_{MNP}} = \frac{1}{2}\left( {MQ + NP} \right)IJ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x\sqrt 3 }}{3} + \frac{{4\left( {x - a} \right)\sqrt 3 }}{3}} \right)2\left( {2a - x} \right)\)
\( = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3x - 2a} \right)\left( {2a - x} \right)\).
Àp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{S = 2\sqrt 3 \left( {x - \frac{2}{3}} \right)\left( {2a - x} \right) \le 2\sqrt 3 {{\left( {\frac{{x - - a + 2a - x}}{3}} \right)}^2} = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}{a^2}}\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x.\frac{2}{3}a = 2a - x \Leftrightarrow x = \frac{4}{9}a{\rm{\;}}\left( {tm} \right)\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} \\\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MI} \end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {MI} } \right) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \frac{{\overrightarrow {BC} }}{2}\]
\[ \Rightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \]
Lại có: \(\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{3}\)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)
Do đó: \(4\overrightarrow {BI} = 3\overrightarrow {BK} \) ⇒ B, I, K thẳng hàng.
Lời giải
Lời giải
Gọi A là biến cố “ba viên bi lấy được chỉ có hai màu”
Ta có: Số phần tử của không gian mẫu: \(C_{16}^3 = 560\)
Số cách chọn được ba viên bi chỉ có một màu: \(C_4^3 + C_5^3 + C_7^3 = 49\)
Số cách chọn được ba viên bi có đủ ba màu: \(C_4^1 + C_5^1 + C_7^1 = 140\)
Vậy xác suất cần tìm là: \({\rm P}\left( A \right) = 1 - \frac{{49 + 140}}{{560}} = \frac{{53}}{{80}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận