Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 2, 4, n (n > 3) điểm phân biệt (các điểm không trùng với các đỉnh của tam giác). Tìm n, biết rằng số tam giác có các đỉnh thuộc n + 6 điểm đã cho là 247.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi tam giác được lập thành do một cách chọn 3 điểm sao cho 3 điểm đó không thẳng hàng tức là không cùng nằm trên một cạnh của tam giác ABC.

Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ n+6 điểm đã cho có: \(C_{n + 6}^3\) (cách)

Chọn 3 điểm chỉ nằm trên đúng 1 cạnh của tam giác ABC có: \(C_4^3 + C_n^3\) (cách)

Số tam giác lập thành là:                     

\(C_{n + 6}^3 - \left( {C_4^3 + C_n^3} \right) = 247\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 6} \right)!}}{{3!.\left( {n + 3} \right)!}} - \left[ {4 + \frac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}}} \right] = 247\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right)}}{6} - \left[ {4 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}} \right] = 247\)

⇔ (n + 6)(n + 5)(n + 4) – n(n – 1)(n – 2) = 1506

⇔ 18n² + 72n – 1386 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 11\\n = 7\end{array} \right.\)

Vì n > 3 nên n = 7.

Vậy đáp án đúng là C.