Câu hỏi:
03/07/2023 1,276
Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn: xy + 1 chia hết cho z; yz + 1 chia hết cho x; xz + 1 chia hết cho y.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Theo bài ta có \(\left( {xy + 1} \right)\left( {xz + 1} \right)\left( {yz + 1} \right) \vdots xyz\)
\( \Rightarrow \;\left( {{x^2}{y^2}{z^2} + {x^2}yz + x{y^2}z + xy{z^2} + xy + xz + yz + 1} \right):xyz\)
\( \Rightarrow \left( {xy + xz + yz + 1} \right){\rm{\;}} \vdots xyz\)
Đặt \(xy + xz + yz + 1 = nxyz\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\)
Do đó \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} = n\)
Vai trò x, y, z như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 1\).
Ta có \(\frac{1}{{xyz}} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z} \le 1\). Vậy \(n \le 4\).
Do đó \(n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)
Trường hợp 1: Xét \(n = 1\). Ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} = 1\)
Ta có \(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 4\)
Mà z > 1. Vậy \(z \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)
• Với z = 2 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2xy}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 6\)
Mà y > 1 nên \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).
Xét \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\) được y = 3; x = 7.
• Với z = 3 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3xy}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 4\)
Mà \(y \ge z = 3\) nên \(y \in \left\{ {3;4} \right\}\)
Xét \({\rm{y}} \in \left\{ {3;4} \right\}\), ta có \({\rm{x}} \notin \mathbb{Z}\).
• Với z = 4 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{4{\rm{xy}}}} = \frac{3}{4}\)
\( \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{4xy}} < \frac{3}{4} \Rightarrow y < 4\)
Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 4\).
Trường hợp 2: Xét n = 2 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 2\)
Ta có \(2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow {\rm{z}} \le 2 \Rightarrow {\rm{z}} \in \left\{ {1;2} \right\}\)
• Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 3\) mà \(y \in \left\{ {2;3} \right\}\)
+) y = 2 thì x = 3;
+) y = 3 thì \(x \notin Z\)
• Với z = 2, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 2\)
Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 2\)
Trường hợp 3: Xét n = 3, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 3\)
\( \Rightarrow 3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 1 \Rightarrow z = 1\)
Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 2\)
\( \Rightarrow 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le \frac{3}{2} \Rightarrow y = 1\).
Khi đó x = 2.
Trường hợp 4: Xét n = 4, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} \le \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 4\)
Dấu '=' xảy ra có x = y = z = 1.
Kết luận: Các bộ số nguyên dương (x, y, z) cần tìm là (7; 3; 2); (3; 2; 1); (2; 1; 1); (1; 1; 1) và các hoán vị.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = 1/3 AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Xem đáp án »
03/07/2023
3,991
Câu 2:
Cho một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một lần ba viên bi. Tính xác suất để trong ba viên bi lấy được chỉ có hai màu.
Xem đáp án »
03/07/2023
3,899
Câu 4:
Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”.
Định lí này được viết dưới dạng P Þ Q. Hãy phát biểu định lí đảo của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu gộp cả 2 định lí thuận và đảo.
Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”.
Định lí này được viết dưới dạng P Þ Q. Hãy phát biểu định lí đảo của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu gộp cả 2 định lí thuận và đảo.
Xem đáp án »
03/07/2023
2,194
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8).
Xem đáp án »
03/07/2023
1,940
Câu 6:
Tìm giá trị của x để đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0:
a) (3x5 – x4 – 2x3 + x2 + 4x + 5) : (x2 – 2x + 2);
b) (x5 + 2x4 + 3x2 + x – 3) : (x2 + 1).
Tìm giá trị của x để đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0:
a) (3x5 – x4 – 2x3 + x2 + 4x + 5) : (x2 – 2x + 2);
b) (x5 + 2x4 + 3x2 + x – 3) : (x2 + 1).
Xem đáp án »
03/07/2023
1,931
Câu 7:
Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a, 5 điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên 1 đường tròn.
b, 3 điểm M, N, H thẳng hàng.
c, HA . HF = R2 – OH2.
Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a, 5 điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên 1 đường tròn.
b, 3 điểm M, N, H thẳng hàng.
c, HA . HF = R2 – OH2.
Xem đáp án »
03/07/2023
1,780
về câu hỏi!