Câu hỏi:
03/07/2023 1,719
Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn: xy + 1 chia hết cho z; yz + 1 chia hết cho x; xz + 1 chia hết cho y.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Theo bài ta có \(\left( {xy + 1} \right)\left( {xz + 1} \right)\left( {yz + 1} \right) \vdots xyz\)
\( \Rightarrow \;\left( {{x^2}{y^2}{z^2} + {x^2}yz + x{y^2}z + xy{z^2} + xy + xz + yz + 1} \right):xyz\)
\( \Rightarrow \left( {xy + xz + yz + 1} \right){\rm{\;}} \vdots xyz\)
Đặt \(xy + xz + yz + 1 = nxyz\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\)
Do đó \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} = n\)
Vai trò x, y, z như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 1\).
Ta có \(\frac{1}{{xyz}} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z} \le 1\). Vậy \(n \le 4\).
Do đó \(n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)
Trường hợp 1: Xét \(n = 1\). Ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} = 1\)
Ta có \(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 4\)
Mà z > 1. Vậy \(z \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)
• Với z = 2 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2xy}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 6\)
Mà y > 1 nên \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).
Xét \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\) được y = 3; x = 7.
• Với z = 3 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3xy}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 4\)
Mà \(y \ge z = 3\) nên \(y \in \left\{ {3;4} \right\}\)
Xét \({\rm{y}} \in \left\{ {3;4} \right\}\), ta có \({\rm{x}} \notin \mathbb{Z}\).
• Với z = 4 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{4{\rm{xy}}}} = \frac{3}{4}\)
\( \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{4xy}} < \frac{3}{4} \Rightarrow y < 4\)
Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 4\).
Trường hợp 2: Xét n = 2 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 2\)
Ta có \(2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow {\rm{z}} \le 2 \Rightarrow {\rm{z}} \in \left\{ {1;2} \right\}\)
• Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 3\) mà \(y \in \left\{ {2;3} \right\}\)
+) y = 2 thì x = 3;
+) y = 3 thì \(x \notin Z\)
• Với z = 2, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 2\)
Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 2\)
Trường hợp 3: Xét n = 3, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 3\)
\( \Rightarrow 3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{{xyz}} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 1 \Rightarrow z = 1\)
Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 2\)
\( \Rightarrow 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le \frac{3}{2} \Rightarrow y = 1\).
Khi đó x = 2.
Trường hợp 4: Xét n = 4, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} \le \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 4\)
Dấu '=' xảy ra có x = y = z = 1.
Kết luận: Các bộ số nguyên dương (x, y, z) cần tìm là (7; 3; 2); (3; 2; 1); (2; 1; 1); (1; 1; 1) và các hoán vị.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = 1/3 AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Xem đáp án »
03/07/2023
13,925
Câu 2:
Cho một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một lần ba viên bi. Tính xác suất để trong ba viên bi lấy được chỉ có hai màu.
Xem đáp án »
03/07/2023
6,504
Câu 4:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8).
Xem đáp án »
03/07/2023
6,056
Câu 5:
Một hộp đựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có đủ 3 màu?
Xem đáp án »
03/07/2023
4,877
Câu 6:
Tìm giá trị của x để đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0:
a) (3x5 – x4 – 2x3 + x2 + 4x + 5) : (x2 – 2x + 2);
b) (x5 + 2x4 + 3x2 + x – 3) : (x2 + 1).
Tìm giá trị của x để đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0:
a) (3x5 – x4 – 2x3 + x2 + 4x + 5) : (x2 – 2x + 2);
b) (x5 + 2x4 + 3x2 + x – 3) : (x2 + 1).
Xem đáp án »
03/07/2023
3,784
Câu 7:
Tháng 2 năm nào đó có 5 ngày thứ Năm. Hỏi ngày 1 tháng đó là thứ mấy? Chủ nhật tháng đó vào những ngày nào?
Xem đáp án »
03/07/2023
3,746
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận